第30题导数应用常见误区分析-2018原创精品之高中数学（文）黄金100题系列（解析版）

《第30题导数应用常见误区分析-2018原创精品之高中数学（文）黄金100题系列（解析版）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、精彩解读【试题来源】人教版A版选修1・1P86习题3・2B组Ti・【母题评析】本考考察如何求曲线上一点处切线的方程.【思路方法】掌握基本函数的求导及导数几何意义的应用.【试题來源】人教版A版选修1-1P99习题3.3B组.【母题评析】不等式证明是高中数中常见的一类典型问题，本题考查了如何通过构造函数结合函数的单调性去证明不等式.【思路方法】不等式证明常用的基本方法有：综合法、’比较法（作差法、作商法）、分析法,本题之后又添一法一一构造函数法，要注意所构造函数的定义域.第30题导数应用常见误区分析I.题源探究・黄金母题【例1］设函数f

2、(x)=l-ex的图象与x轴相交于点P,求曲线在点P处的切线方程.【解析】当y=0时，x=0.所以函数图象与x轴交于点P(0,0)./=-^,所以/

3、x=0=-i・所以曲线在点P处的切线的方程为>'=一兀•【例2】利用函数的单调性，证明下列不等式：⑴sinxv兀,xe(0,^)；(2)x-x2>0，xg(0,1)；(3)ex>x+l,x/0；(4)inx0；【解析】(1)证明：设/(x)=sinx-x,xg(0,^-)・•/fx)=cosx-1<0,xe(0,兀),f(x)=sinx-x在(0,兀)内单调递减，因此

4、/(x)=sinx-x0,于⑴单调递增，f(x)=x-x2>/(0)=0；当,1)时，fx)=1-2x<0,f(x)单调递减，f(x)=x-x2>/(I)=0；X/(—)=->0.因此，x-x2>0,xw(0,1).(3)证明：设fx)=ex--x,兀工0.*.*fx)=ex-1,xH0,・••当x>0时，fx)=er-1>0,

5、f(x)单调递增，f(x)=ex-l-x>/(0)=0；当xvO时，fx)=v-1<0,X（-°°,一2）-2（-2，2）2（2,+oo）/'(兀)+0—0+单调递增口283单调递减□43单调递增口因此，当x=-2时，/(x)有极大值，并且极大值为/(-2)=—；【试题来源】(I)人教版A版选修例4；(II)人教版A版选修1・1P97例5.【母题评析】求函数的极值及函数在闭区间上的最值是高中数中常见的一类典型问题,本题考查了如何利用导数求函数的极值及最值.【思路方法】一、求函数极值的一般步骤：(1)求函数/(兀)的定义域；(2)求

6、fx)；(3)求方程r(X)=O的根；(4)检查/(X)在方程f(x)=0的根的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么/(x)在这个根处取得极大/(兀)单调递减，/(兀)二"一1一兀>/(0)=0.综上：exx,20.(4)证明：设f(x)=]nx-x,x>0.*.*fx)=—-1,xHO,/.当0v兀v1时,fx)=—-1>0,f(x)单调递增,Xf(x)=lnx-xl时，/z(x)=—-1<0,f(x)x单调递减，f(x)=x-x

7、xvx.由(3)可知，ex>x+l>x,x>0.综上：lnx0.【例3】(I)求函数/(x)=

8、x3-4x+4的极值;(II)求函数/(x)=1x3-4x+4在[0,3]上的最大值与最小值.【答案】⑴当x=-2吋，/(兀)有极大值，并且极大值为/(-2)=—；4当x=2时，/(兀)有极小值，并且极小值为/(2)=-y；(II)函数14/(x)=-?-4x+4^[0,3]±的最大值是4,最小值是-亍【解析】(I)v/(x)=-x3-4x+4,/./(x)=x2-4=(x4-2)(x-2),令/(x)=0,解得兀二一2或

9、x=2・下面分两种情况讨论：(1)当r(x)>0,即%<-2,或兀>2时;(2)当/(x)<0,即-2

10、x3-4x+4在［0,3］上4的最人值是4,最小值是——•值；如果左负右正，那么/(X)在这个根处取得极

11、小值.二、求函数y=f(x)在［d,b］上的最大值与最小值的一般步骤:(1)求函数y=/(x)在(Q,b)内的极值;(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值/(d)J(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【母