高考专题 导数应用常见误区分析-高中数学（文）黄金100题---精校解析Word版

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1、第30题导数应用常见误区分析I．题源探究·黄金母题【例1】设函数的图象与轴相交于点，求曲线在点处的切线方程．【解析】当时，．所以函数图象与轴交于点．，所以．所以曲线在点处的切线的方程为．精彩解读【试题来源】人教版A版选修1-1P86习题3．2B组T1．【母题评析】本考考察如何求曲线上一点处切线的方程．【思路方法】掌握基本函数的求导及导数几何意义的应用．【例2】利用函数的单调性，证明下列不等式：（1），；（2），；（3），；（4），；【解析】（1）证明：设，．∵，，∴在内单调递减，因此，，即，．（2）证明：设，

2、．∵，，∴当时，，单调递增，；当时，，单调递减，；又．因此，，．（3）证明：设，．∵，，∴当时，，单调递增，；当时，，单调递减，．【试题来源】人教版A版选修1-1P99习题3．3B组．【母题评析】不等式证明是高中数中常见的一类典型问题，本题考查了如何通过构造函数结合函数的单调性去证明不等式．【思路方法】不等式证明常用的基本方法有：综合法、比较法（作差法、作商法）、分析法，本题之后又添一法——构造函数法，要注意所构造函数的定义域．综上：，．（4）证明：设，．∵，，∴当时，，单调递增，；当时，，单调递减，；当时，

3、显然．因此，．由（3）可知，，．综上：，．【例3】（I）求函数的极值；（II）求函数在上的最大值与最小值．【答案】（I）当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为；（II）函数在上的最大值是，最小值是．【解析】（I）．令，解得或．下面分两种情况讨论：（1）当，即，或时；（2）当，即时．当变化时，的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增【试题来源】（I）人教版A版选修1-1P94例4；（II）人教版A版选修1-1P97例5．【母题评析】求函数的极值及函数在闭区间上的最值是高中数中常见的一类典型

4、问题，本题考查了如何利用导数求函数的极值及最值．【思路方法】一、求函数极值的一般步骤：（1）求函数的定义域；（2）求；（3）求方程的根；（4）检查在方程的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值．二、求函数在上的最大值与最小值的一般步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．因此，当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为．（II），结合（I）列表：单调递减单

5、调递增当时，有极小值，并且极小值为．又由于，因此，函数在上的最大值是，最小值是．II．考场精彩·真题回放【例1】【2017年高考浙江卷】函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（）【答案】D【母题评析】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．【思路方法】本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系，同时培养学生的数形结合思想．【难点中心】1．将导数的几

6、何意义与导数的计算、函数的性质、基本初等函数相结合，特别是分段函数、抽象函数，可以增加本类题的的难度，解决此类问题要注意利用数形结合思想、特殊化思想解题，降低难度．2．求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为【解析】原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D．【例2】【2017高考山东文20】已知函数．，（I）当时，求曲线在点处的

7、切线方程；（II）设函数，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【答案】(I)；（II）⑴无极值；⑵极大值为，极小值为；⑶极大值为，极小值为．【解析】试题分析：（I）根据求出切线斜率，再用点斜式写出切线方程；(II)由，通过讨论确定单调性，再由单调性确定极值．试题解析：（I）由题意，所以，当时，，，所以，因此，曲线在点处的切线方程是，即．（II）因为，所以令，则，所以在上单调递增，因为，所以，当时，；当时，．（1）当时，，．3．可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同．若在内有极值

8、，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增．所以，当时，取到极大值，极大值是，当时，取到极小值，极小值是．（2）当时，，当时，，单调递增；所以，在上单调递增，无极大值也无极小值．（3）当时，，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增．所以，当时，取到极大值，极大值是；当时，取到极小值，极小值是．综上所述