高考专题函数与方程问题的分析-高中数学（文）黄金100题--- 精校解析Word版

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1、第19题函数与方程问题的分析I．题源探究·黄金母题【例1】已知，求证：（1）；（2）．【证明】（1）．（2）．精彩解读【试题来源】人教版A版必修1第82页复习参考题A组第7题．【母题评析】本题考查了指数幂运算的性质．【思路方法】逆用指数幂运算的性质解题．II．考场精彩·真题回放【例2】【2017高考江苏卷】设是定义在且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是．【答案】8【解析】由于，则需考虑的情况在此范围内，且时，设，且互质．若，则由，可设，且互质，因此，则，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此，因此不可能与每个

2、周期内对应的部分相等，只需考虑与每个周期的部分的交点，画出函数图象，图中交点除【命题意图】本题属于能力题，中等难度．在考查抽象函数问题、绝对值不等式、函数的最值等基础知识的同时，考查了考生的逻辑推理能力、运算能力、分类讨论思想及转化与化归思想．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较大．【难点中心】解答本题的关键，是利用分类讨论思想、转化与化归思想，逐步转化成不含绝对值的式子，得出结论．对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图

3、象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，且处，则在附近仅有一个交点，一次方程解的个数为8．【例3】【2014高考辽宁卷】已知定义在上的函数满足：①；②对所有，且，有．若对所有，，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】不妨令，则．解法一：，即得，另一方面，当时，，符合题意，当时，，故．解法二：当时，，当时，，故．III．理论基础·解题原理1．函数方程：含有未知函数的等式叫做函数方程，例如：都

4、可称为函数方程．在高中阶段，涉及到函数方程有以下几个类型：（1）表示函数的某种性质：例如体现是偶函数；体现是周期为1的周期函数（可详见“函数对称性与周期性”一节）．（2）可利用解方程组的思想解出涉及的函数的解析式：例如：，可用代替得，即．（3）函数方程也是关于变量的恒等式，所以通过对变量赋特殊值得到某些数的函数值．2．双变量函数方程的赋值方法：（1）对均赋特殊值，以得到某些点的函数值，其中有些函数值会对性质的推导起到关键作用，比如，在赋特殊值的过程中要注意所赋的值要符合函数定义域．（2）其中某一个变量不变，另一个赋特殊值，可得到

5、单变量的恒等式，通常用于推断函数的性质．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，考查对基本初等函数及超越函数性质的理解，一般难度较大．【技能方法】常见函数所符合的函数方程：在填空选择题时可作为特殊的例子辅助处理，但是在解答题中不能用这些特殊的函数代表函数方程．抽象函数具体模型比例函数：正指数函数：当时，当时，幂函数：三角函数：【易错指导】由于抽象函数没有具体的函数解析式，构造时容易顾此失彼，忽略性质的背后可能还蕴涵着其他性质，结论背后可能还推论出其他结论．所以，在解题时一

6、定要反复推敲，不断假设验证，或者索性先构造一个具体函数，然后隐去解析式来叙述这个函数的性质，那么出现错题的可能性就小了许多．V．举一反三·触类旁通考向1求抽象函数的解析式（值）【例1】【2017东北三省三校第二次联合模拟考试】已知偶函数的定义域为，若为奇函数，且，则的值为（）A．-3B．-2C．2D．3【答案】D【例2】已知函数满足：，对任意实数都有，则（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】由所求出发可考虑判断是否具备周期性，令，可得，即，∴，两式相加可得，则可判定的周期为6，由可得：，即，由可得，则，从而，∴，且．【例3】设

7、角的终边在第一象限，函数的定义域为，且，当时，有，则使等式成立的的集合为．【答案】．【例4】设函数的定义域为，，且对，都有，则的解析式为________．【答案】．【解析】观察到右边的结构并非的轮换对称式，考虑其中一个变量不变，另一个变量赋值为1，则时，①，时，②，则求是关键，结合，可令，则，代入到①②可得：，即，消去解得：．【跟踪练习】1．已知函数y=f(x)是偶函数，其图像与x轴有四个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是()A．4B．2C．1D．0【答案】D【解析】偶函数图像关于y轴对称，所以与x轴四个交点横坐标，两两关

8、于y轴对称，即两两之和为零，所有实根之和为零，选D．2．【2017重庆第一次调研抽测】奇函数的定义域为．若为偶函数，且，则（）A．-2B．-1C．0D．1【答案】B3．已知是定义在上的函数，，且对任意的，都有，那么_________．【答案】．【解析】函数方程为