2021届高中数学必做黄金100题29 导数的综合应用问题题-（解析版）.docx

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1、第29题导数的综合应用问题一．题源探究·黄金母题设，记试比较的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】先证明不等式(x>0)；设，∵∴当时，单调递增，；当时单调递减，；当x=1时，显然，因此；设，当，，即；综上：有，x>0成立；，，，故选A．【试题来源】人教版A版选修1-1P32习题1．3B组T1改编．【母题评析】判断函数的单调性及求函数的单调区间是高中数中常见的一类典型问题，本考查了如何利用导数去判断函数的单调性及求函数的单调区间．【思路方法】判断函数的单调性基本方法有：定义法、图象法、复合函数法（同增异减），

2、本题之后又添一法——导数法，求单调区间时，要注意函数的定义域．二．考场精彩·真题回放【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知函数．（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）≥1，求a的取值范围22/22【解析】的定义域为，．（1）当时，，，曲线在点处的切线方程为，即．直线在轴，轴上的截距分别为，．因此所求三角形的面积为．（2）当时，．当时，，．当时，；当时，．所以当时，取得最小值，最小值为，从而．当时，．综上，的取值范围是．【命题意图】本题考查导数几何意义、利用导数研究

3、不等式恒成立问题．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，考查综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想，属较难试题.往往用导函数判断函数的单调性，利用单调性研究函数的性质。【学科素养】数学运算、【难点中心】1．含参数函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：①方程是否有根；②若有根，求出根后是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法．讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．2．求函数极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导

4、数；③解方程，求出函数定义域内的所有根；④检验在的根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么在处取极大值，如果左负右正，那么在处取极小值．若函数在区间内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．3．涉及函数的零点问题、方程解的22/22个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路．4．已知函数有几个零点求参数取值范围，第一种方法是分

5、离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出的范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值．注意点是若有两个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证有最小值两边存在大于0的点；注意数形结合思想的应用．5．利用导数解决恒成立问题主要涉及以下方面：（1）已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；（2）如果无法分离参数可以考虑对参数或自变量进行分类求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考

6、虑限制二次项系数或判别式的方法求解．（3）已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为(或恒成立的问题．22/226．构造函数证明不等式的方法：（1）对于(或可化为)左右两边结构相同的不等式，构造函数，使原不等式成为形如的形式；（2）对形如的不等式，构造函数；（3）对于(或可化为)的不等式，可选(或)为主元，构造函数(或)．三．理论基础·解题原理考点一利用导数研究函数的性质以含参数的函数为载体，结合具体函数与导数的几何意义，研究函数的性质，是高考的热点重点．本热点主要有三种考查方式：（1）讨论函数的单调性或求单调区间；（2）求

7、函数的极值或最值；（3）利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围．考点二利用导数研究函数的零点或曲线交点问题导数与函数方程交汇是近年命题的热点，常转化为研究函数图象的交点问题，研究函数的极（最）值的正负，求解时应注重等价转化与数形结合思想的应用，其主要考查方式有：（1）确定函数的零点、图象交点的个数；（2）由函数的零点、图象交点的情况求参数的取值范围．考点三利用导数研究不等式问题导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题．归纳起来常见的命题角度有：（1）证明不等式；（2）由不

8、等式恒成立求参数范围问题；（3）不等式恒成立、能成立问题．22/22四．题型攻略·深度挖掘【考试方向】导数的综合应用问题是高考考查的热点，在考查题型上，可能是选择题、填空题或解答题，且多为压轴题，难度大，考查的数学思想方法有函数与方程思想、分类讨论思想以及数形结合思想等，综合考查学生的分析问题、解决问题