平面向量数量积及其应用（2）模长问题-高中数学（文）黄金100题---精校解析 Word版

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1、41题平面向量数量积及其应用（2）---模长问题I．题源探究·黄金母题【例1】已知，求．【解析】由II．考场精彩·真题回放【例2】【2017课标II文4】设非零向量，满足则A.⊥B.C.∥D.【答案】A【解析】由平方得，即，则，故选A.【名师点睛】(1)向量平行：，,(2)向量垂直：，(3)向量加减乘：【例3】【2014全国2文4】设向量满足，，则（）A.1B.2C.3D.5【答案】A【解析】由已知得，，，两式相减得，，故．【考点定位】向量的数量积.【名师点睛】本题主要考查了向量数量积运算，本题属于基础题，解决本题的关健在于掌握向

2、量的模与向量数量积之间的关系，还有就是熟练掌握数量积的运算性质与运算律.【例4】【2015湖北卷12】若向量，，，则________.【答案】【解析】：设，依题意，，解得或，即或（舍去），所以，所以.【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算和两点距离公式，扎根基础知识，强调教材的重要性，充分体现了教材在高考中的地位和重要性，考查了基本概念、基本规律和基本操作的识记能力.其解题的关键是正确的计算平面向量的数量积和向量的模.【例5】【2015高考浙江文13】已知，是平面单位向量，且．若平面向量满足，则．【答案】【解析】由题可知，不妨，，

3、设，则，，所以，所以.【考点定位】1.平面向量数量积运算；2.向量的模.【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及向量的模的计算.根据条件，设定的坐标形式，利用向量的数量积的坐标表示得到的坐标，进而确定其模.本题属于容易题，主要考查学生基本的运算能力.【例6】【2017浙江15】已知向量a，b满足则的最小值是________，最大值是_______．【答案】4，【解析】设向量的夹角为，由余弦定理有：，则：，令，则，据此可得：，；即的最小值是4，最大值是．【名师点睛】本题通过设入向量的夹角，结合模长公式，解得，再利用三角有界性

4、求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．【例7】【2016年高考北京理数】设，是向量，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由，故是既不充分也不必要条件，故选D.【名师点睛】由向量数量积的定义(为，的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.精

5、彩解读【试题来源】人教版A版必修四第108页习题2.4A组第3题．【母题评析】本题为求向量模长的基本问题，求解思路，可依据完全依据进行，需要对定义的理解及运算能力是成功解题的关键。【命题意图】本类题主要考查（1）向量模长的计算及向量的数量积运算。（2）数量积的性质运用如：模长、投影、垂直等。【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中偏下．【难点中心】（1）对定义的准确理解和运用是一个难点；（2）由向量数量积定义出发，综合多种条件，求模长，判断垂直等综合问题。III．理论基础·解题原理知识点一　两向

6、量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则_∠AOB　＝θ(0°≤θ≤180°)，叫做向量a与b的夹角．①范围：向量a与b的夹角的范围是[0°，180°]．②当θ＝0°时，a与b_同向.③当θ＝180°时，a与b_反向.(2)垂直：如果a与b的夹角是_90°，则称a与b垂直，记作a⊥b__．知识点二　平面向量的数量积（一）设θ为a与b的夹角．(1)定义：a·b＝

7、a

8、

9、b

10、cosθ.(2)投影：＝

11、a

12、cosθ叫做向量a在b方向上的投影．（二）数量积的性质(1)a⊥b⇔a·b＝0；(2)当a与b同向时，a·

13、b＝

14、a

15、·

16、b

17、；当a与b反向时，a·b＝－

18、a

19、·

20、b

21、；特别地，a·a＝

22、a

23、2；(3)

24、a·b

25、≤

26、a

27、·

28、b

29、；(4)cosθ＝.（三）数量积的坐标表示、模、夹角已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(1)a·b＝x1x2＋y1y2；(2)

30、a

31、＝；(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0；(4)cosθ＝.【误区警示】1．两向量夹角的范围是[0，π]，a·b>0与〈a，b〉为锐角不等价；a·b<0与〈a，b〉为钝角不等价．2．点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别．3．a在b方向上的投影为，而不是

32、.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏下，有时也会与三角函数、解三角形等知识交汇．【技能方法】准确理解数量积的定义，对向量数量积性质的灵活运用。V．举一反三·触类旁通考向1　与向量的模长有关的计算问题【例