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《导数与根的个数的问题答案版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、根的个数问题题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式（组）即可；例1、已知函数，，且在区间上为增函数．（1）求实数的取值范围；（2）若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围．解：（1）由题意∵在区间上为增函数，∴在区间上恒成立（分离变量法）即恒成立，又，∴，故∴的取值范围为（2）设，令得或由（1）知，①当时，，在R上递
2、增，显然不合题意…②当时，，随的变化情况如下表：—↗极大值↘极小值↗由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，故需，即∴，解得综上，所求的取值范围为根的个数知道，部分根可求或已知。例2、已知函数（1）若是的极值点且的图像过原点，求的极值；（2）若，在（1）的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点？若存在，求出实数的取值范围；否则说明理由。高1考1资1源2网解：（1）∵的图像过原点，则，又∵是的极值点，则10-1（2）设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点，等价于有含的三个根，即：整理得：即：恒有含的三个不等实根（计算难点来了：）有含
3、的根，则必可分解为，故用添项配凑法因式分解，十字相乘法分解：恒有含的三个不等实根等价于有两个不等于-1的不等实根。10题2：已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数解法：根分布或判别式法例3、解：函数的定义域为（Ⅰ）当m＝4时，f(x)＝x3－x2＋10x，＝x2－7x＋10，令，解得或.令，解得可知函数f(x)的单调递增区间为和（5，＋∞），单调递减区间为．（Ⅱ）＝x2－(m＋3)x＋m＋6,1要使函数y＝f(x)在（1，＋∞）有两个极值点,＝x2－(m＋3)x＋m＋6=0的根在（1，＋∞）根分布问题：则，解得m＞3例4、已知函数，（1）求的单调区间；（2）令＝x4＋f（x
4、）（x∈R）有且仅有3个极值点，求a的取值范围．解：（1）当时，令解得，令解得，所以的递增区间为，递减区间为.当时，同理可得的递增区间为，递减区间为.（2）有且仅有3个极值点10=0有3个根，则或，方程有两个非零实根，所以或而当或时可证函数有且仅有3个极值点题3：切线的条数问题====以切点为未知数的方程的根的个数例5、已知函数在点处取得极小值－4，使其导数的的取值范围为，求：（1）的解析式；（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．（1）由题意得：∴在上；在上；在上因此在处取得极小值∴①，②，③由①②③联立得：，∴（2）设切点Q，过令，求得：，方程有三个根。需：故：；因此所求实
5、数的范围为：10例6、（根分布与线性规划例子）（1）已知函数(Ⅰ)若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行,求的解析式；(Ⅱ)当在取得极大值且在取得极小值时,设点所在平面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分,求直线L的方程.解：(Ⅰ).由,函数在时有极值,∴∵∴又∵在处的切线与直线平行,∴故∴…………………….7分(Ⅱ)解法一:由及在取得极大值且在取得极小值,∴即令,则∴∴故点所在平面区域S为如图△ABC,易得,,,,,同时DE为△ABC的中位线,∴所求一条直线L的方程为:另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分,设直线L方程为,它
6、与AC,BC分别交于F、G,则,由得点F的横坐标为:10由得点G的横坐标为:∴即解得:或(舍去)故这时直线方程为:综上,所求直线方程为:或.…………….………….12分(Ⅱ)解法二:由及在取得极大值且在取得极小值,∴即令,则∴∴故点所在平面区域S为如图△ABC,易得,,,,,同时DE为△ABC的中位线,∴所求一条直线L的方程为:另一种情况由于直线BO方程为:,设直线BO与AC交于H,由得直线L与AC交点为:∵,,∴所求直线方程为:或10作业讲解1、（根的个数问题）已知函数的图象如图所示。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线方程为，求函数f(x)的解析式；（Ⅲ）若方程有三个不同的根
7、，求实数a的取值范围。解：由题知：（Ⅰ）由图可知函数f(x)的图像过点(0,3)，且=0得（Ⅱ）依题意=–3且f(2)=5解得a=1,b=–6所以f(x)=x3–6x2+9x+3（Ⅲ）依题意f(x)=ax3+bx2–(3a+2b)x+3(a＞0)=3ax2+2bx–3a–2b由=0b=–9a①若方程f(x)=8a有三个不同的根，当且仅当满足f(5)＜8a＜f(1)②由①②得–25a+3＜8a＜7a+3＜a＜3所以当＜a＜3时，方程f
