考前归纳总结导数中的有关方程根的问题

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1、导数中的有关方程根的问题一、常见基本题型：(1)判断根的个数问题，常常转化为函数图象的交点个数问题，通过构造函数来求解，例1.已知函数求方程的根的个数.解：令当时，当时，因此，在时，单调递减，在时，单调递增.又为偶函数，当时，极小值为当时，，当时，当时，，当时，故的根的情况为：当时，即时，原方程有2个根；当时，即时，原方程有3个根；当时，即时，原方程有4个根（2）已知方程在给定的区间上解的情况，去求参数的取值范围，另外有关方程零点的个数问题其实质也是方程根的问题。例1.已知是不同时为零的常数），其导函数为，（1）求证：函数在内至少存在一个零点；（2）若函数为奇函数，且在处的切线垂直

2、于直线，关于的方程在上有且只有一个实数根，求实数的取值范围.解：（1）证明：因为当时，符合题意；当时，，令，则令，，当时，，在内有零点；当时，，在内有零点.当时，在内至少有一个零点.综上可知，函数在内至少有一个零点（2）因为为奇函数，所以，所以，.又在处的切线垂直于直线，所以，即.在上是单调递增函数，在上是单调递减函数，由解得，，由解之得作与的图知交点横坐标为当时，过图象上任意一点向左作平行于轴的直线与都只有唯一交点，当取其它任何值时都有两个或没有交点。所以当时，方程在上有且只有一个实数根.二、针对性练习1。设函数当，，方程有唯一实数解，求正数的值．解:因为方程有唯一实数解，所以有

3、唯一实数解，设，则．令，．因为，，所以（舍去），，当时，，在（0，）上单调递减，当时，，在（，+∞）单调递增当时，=0，取最小值．则既所以，因为，所以（*）设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解．因为，所以方程（*）的解为，即，解得2.设函数，且为的极值点．(Ⅰ)若为的极大值点，求的单调区间（用表示）；(Ⅱ)若恰有两解，求实数的取值范围．解：，又所以且，（I）因为为的极大值点，所以当时，；当时，；当时，所以的递增区间为，；递减区间为．（II）①若，则在上递减，在上递增恰有两解，则，即，所以；②若，则，因为，则的极大值为，的极小值为，从而只有一解；③若，则的极小值为的极大值为，则

4、只有一解.综上，使恰有两解的的范围为．3.已知函数,函数,若方程在上恰有两解,求实数的取值范围.解：令得，则此方程在上恰有两解。记得在上，，单调递减；在上，，单调递增；又，.导数中的求参数取值范围问题一、常见基本题型：（1）已知函数单调性，求参数的取值范围，如已知函数增区间，则在此区间上导函数，如已知函数减区间，则在此区间上导函数。（2）已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题，可转化为求函数的最值问题。例1.已知R，函数.（R，e为自然对数的底数）（1）若函数内单调递减，求a的取值范围；（2）函数是否为R上的单调函数，若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由.解：（1）=.上单调

5、递减，则对都成立，对都成立.令，则,.（2）①若函数在R上单调递减，则对R都成立即对R都成立.对R都成立令，图象开口向上不可能对R都成立②若函数在R上单调递减，则对R都成立，即对R都成立，对R都成立.故函数不可能在R上单调递增.综上可知，函数不可能是R上的单调函数例2：已知函数,若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，对于任意，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围；解：令得，故两个根一正一负，即有且只有一个正根函数在区间上总不是单调函数在上有且只有实数根故，而单调减，，综合得例3.已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）设，若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围．解：（I）的定

6、义域是由及得；由及得，故函数的单调递增区间是；单调递减区间是（II）若对任意，，不等式恒成立，问题等价于，由（I）可知，在上，是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，故也是最小值点，所以；当时，；当时，；当时，；问题等价于或或解得或或即，所以实数的取值范围是。例4．设函数,(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．解：(1)由a＝0，f(x)≥h(x)，可得－mlnx≥－x，x∈(1，＋∞)，即m≤.记φ(x)＝，则f(x)≥h(x)在(1

7、，＋∞)上恒成立等价于m≤φ(x)min.求得φ′(x)＝当x∈(1，e)，φ′(x)＜0；当x∈(e，＋∞)时，φ′(x)＞0.故φ(x)在x＝e处取得极小值，也是最小值，即φ(x)min＝φ(e)＝e，故m≤e.(2)函数k(x)＝f(x)－h(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程x－2lnx＝a，在[1,3]上恰有两个相异实根．令g(x)＝x－2ln，则g′(x)＜1－.当x∈[1,2)时，g′(x)＜0；当x∈(2,3]时，g′(x)＞0.∴g(x)