2014年高考数学考前归纳总结：导数中的恒成立问题

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1、导数中的恒成立问题一、常见基本题型：（1）已知某个不等式恒成立，去求参数的取值范围；（2）让你去证明某个不等式恒成立。解此类问题的指导思想是：构造函数，或参变量分离后构造函数，转化为求新函数的最值问题。例1：已知函数,当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.解：不等式可化为，即.记，要使上式成立，只须是增函数即可.即在[1,)上恒成立，即在上恒成立，故，所以实数的取值范围是（-，2].例2：已知，函数．（1）若函数在处的切线与直线平行，求的值；（2）在（1）的条件下，若对任意，恒成立，求实数的取值组成的集合．解：（1），由已知，即，，解得或,又因为，所以.（2）当时，，由（2）知该函数在上单调递

2、增，因此在区间上的最小值只能在处取到.又，若要保证对任意，恒成立，应该有，即，解得，因此实数的取值组成的集合是.例3.函数，设，若，求证：对任意，且，都有.证明：因为，所以，因为，所以（当且仅当时等号成立），所以在区间上是增函数，从而对任意，当时，，即,所以。二、针对性练习1.已知函数在处取得极值，若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围．解：函数的定义域为又，由题设在处取得极值，∴，即或。[来源:学科网]∴。不等式恒成立，即恒成立。又∴，当且仅当时，故时，不等式恒成立。2、设函数（Ⅰ）求函数的极值点；（Ⅱ）当p＞0时，若对任意的x＞0，恒有，求p的取值范围；解：（1），当上无极值点当p>0时

3、，令的变化情况如下表：x(0，)[来源:学_科_网]+0－↗[来源:学科网ZXXK]极大值↘从上表可以看出：当p>0时，有唯一的极大值点（Ⅱ）当p>0时在处取得极大值，此极大值也是最大值，要使恒成立，只需，∴。3.已知函数．[来源:Z

4、xx

5、k.Com]（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？解：（Ι）由知：当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；（Ⅱ）由,∴，.故，∴,∵函数在区间上总存在极值，∴有两个不等实根且至少有一个在区间内又∵函数是开口向上的二次函数，且，∴由，

6、∵在上单调递减，所以；∴，[来源:学§科§网Z§X§X§K]由，解得；综上得：所以当在内取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值。