在函数零点问题中求解参数范围

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1、在函数零点问题中求解参数范围　　“根据函数零点的情况，讨论参数的范围”是高考考查的重点和难点.对于这类问题，我们既可以利用零点定理求解，也可以利用数形结合思想求解.　　利用零点定理求解参数范围　　如果函数y=f（x）在区间[a，b]上连续且满足f（a）?f（b）<0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内至少存在一个零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0.这就是零点定理.　　对于在高中阶段常遇到的问题：“已知连续函数y=f（x）在[a，b]上单调，且在（a，b）上存在一个零点，求参数范围”，可用f（a）?f（b）<0求解.　　例1[201

2、2年高考数学天津卷（理科）第4题改编]已知函数f（x）=2x+x3-a（a∈R）在区间（0，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是.　　解：观察可知，函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，又f（x）在区间（0，1）上存在一个零点，故f（0）?f（1）<0，整理得（1-a）（3-a）<0，解得1　　利用数形结合思想求解参数范围5　　如果函数F（x）可以转化成两个函数g（x），h（x）之差的形式，那么F（x）的零点问题就可以看作函数g（x），h（x）图象的交点问题，函数F（x）的零点就是函数g（x），h（x）图象交点的横坐标.同样的，方程F（x

3、）=g（x）-h（x）=0的实数根问题，实质也是F（x）的零点问题，也可以看作函数g（x），h（x）图象的交点问题.因此，对于含参函数F（x）=g（x）-h（x），我们可以利用数形结合思想作出g（x），h（x）的图象，并根据两图象的交点情况求解参数范围.　　例2[2011年高考数学北京卷（理科）第13题]已知函数f（x）=■，x≥2；（x-1）3，x<2.若关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是.　　解：当x≥2时，f（x）=■，此时f（x）在[2，+∞）上单调递减，且0

4、）3，此时f（x）过点（1，0）与（0，-1），且在（-∞，2）上单调递增.当x→2时，f（x）→1.　　如图1所示，作出函数y=f（x）的图象.关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根即y=f（x）的图象与直线y=k有两个交点，故当且仅当0

5、数学北京卷（文科）第18题第（2）问]已知函数f（x）=x2+xsinx+cosx.若曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同的交点，求实数b的取值范围.　　解：f′5（x）=2x+xcosx+sinx-sinx=x（2+cosx）.因为2+cosx>0，所以当x>0时，f′（x）>0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当x<0时，f′（x）<0，f（x）在（-∞，0）上单调递减.当x=0时，f（x）min=f（0）=1.　　如图2所示，作出函数f（x）的草图.因为曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同的交点，故实数b的取值范围是（1，+∞）.　

6、　在例3中，函数f（x）形式复杂，直接作出其图象有困难，因此可以先通过求导研究函数的单调性和极值，作出大致图象，再观察f（x）的图象与直线y=b的图象的交点.通过平移直线y=b确定交点个数，即可求得参数范围.　　例4[2013年高考数学陕西卷（理科）第21题第（2）问]已知函数f（x）=ex（x>0），讨论曲线y=f（x）与曲线y=mx2（m>0）公共点的个数.　　解：曲线y=f（x）与曲线y=mx2（m>0）公共点的个数就是函数h（x）=ex-mx2（x>0）的零点个数，也即方程ex=mx2（x>0）的实数根的个数.　　整理得m=■（x>0）

7、，令g（x）=■，则g′（x）=■=■.当x∈（0，2）时，g′（x）0，g（x）在（2，+∞）上单调递增，所以g（x）min=g（2）=■.又当x→0时，g（x）→+∞；当x→+∞时，g（x）→+∞.　　如图3所示，作出g（x）=■（x>0）的图象与直线y=m（m>0）的图象.当m∈0，■时，直线y=m与曲线g（x）无交点，即曲线y=f（x）与曲线y=mx2（m>0）无公共点；同理可得，当m=■时，曲线y=f（x）与曲线y=mx2（m>0）有1个公共点.当m∈■，+∞时，曲线y=f（x）与曲线y=mx25（m>0）有2个公共点.　　在例4中，

8、直接根据含参二次函数y=mx2（m>0）与曲线f（x）=ex（x>0）的图象讨论它们的交点个数和参数m的取值之间的关系，比较难判断.由于两曲线的公共点