聚焦“不等式恒成立”问题中参数范围的求解

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1、聚焦“不等式恒成立”问题中参数范围的求解246740安徽省枞阳县会宫中学朱贤良E-MAIL:zxl.ah@163.com新课标中，出现了新名词：量词.而由全称量词“∀”构成的“不等式恒成立”问题常常在知识交汇点处设置，极易与导数等其它数学知识交融在一起，渗透着函数与方程、化归与转化、分类讨论及数形结合等数学思想，因而在高考中异常活跃，成为每年高考考查考生分析解决问题能力与创新意识的热点题型，长盛不衰.在求解此类问题中参数范围时，我们常因无法正确转化问题而束手无策，或因理解不当而错误连连.本文拟对“恒成立”问题中参数范围的求法作一分类

2、，供参考.1.直接转化为求函数的最值问题是处理不等式恒成立问题的基本思路332例1（2010天津）已知函数fx()=ax−x+1（x∈R），其中a>0.2（Ⅰ）若a=1，求曲线y=fx()在点（2，f(2)）处的切线方程；11（Ⅱ）若在区间[−,]上，fx()>0恒成立，求a的取值范围.22解析：（Ⅰ）略.11（Ⅱ）由题意，在区间[−,]上，fx()>0恒成立，2211即x∈−[,]时，fx()>0.min2211因此,问题即转化为求函数fx()在区间[−,]上的最值问题.2221fx′()=3ax−3x=3(xax−1).令fx′

3、()=0，解得x=0或.a以下分两种情况讨论：11①当≥即00等价于min⎨f(−),()f⎬>0，即min22⎩22⎭⎧1⎧a5f(−)>0−+>0⎪⎪2⎪⎪88⎨⇒⎨⇒−<5a<5⇒00⎪a+5>0⎪⎩2⎪⎩8811②当<即a>2时,随x的变化，fx′()的符号与fx()的单调性如下表：a2-1-11111x(−,0)0(0,)(,)

4、2aaa2fx′()+0—0+fx()↗极大值↘极小值↗11⎧11⎫因此x∈−[,]时，fx()>0等价于min⎨f(−),()f⎬>0，即min22⎩2a⎭⎧1⎧a5f(−)>0−+>0⎪⎪2⎪⎪8822⎨⇒⎨⇒a<−或0⎪−1+>1022⎪⎩⎪⎩2a2a综上所述，a的取值范围为00（≥0）”的充要条件是“x∈D时，fx()>0(0)≥”,“∀∈xD，fx()<0（≤0）”的充要条件是“x∈D时，fx()<0(0)≤”.mi

5、nmax2.分离主元与参数，再转化为求函数的最值问题是处理不等式恒成立问题的常见策略仍以例1（Ⅱ）为例加以说明.11332解法二：由题意，在区间[−,]上，fx()=ax−x+>10恒成立，22211332即x∈−[,]时，ax>x−1恒成立.22232x−11213①当x∈−[,0)时，即a<=−+恒成立.332xx2x131令gx()=−+，x∈−[,0).此时题意等价于a=−+恒成立.332xx2x13

6、1令hx()=−+，x∈(0,].此时题意等价于a>hx().3maxx2x2易求hx()=−5，故a>−5.max③当x=0时，即a⋅>−01⇒∈aR.综上所述，a的取值范围为0a（

7、方程根的分布问题32例２（2008年全国Ⅰ卷）已知函数fx()=x+ax++x1，a∈R．（Ⅰ）讨论函数fx()的单调区间；21（Ⅱ）设函数fx()在区间(−,−)内是减函数，求a的取值范围．33解析：（Ⅰ）略.221（Ⅱ）题意等价于导函数fx′()=3x+2ax+≤10对x∈−(,−)恒成立，3321即二次方程f′(x)=0的两根中，一根小于或等于−,一根大于或等于−．33⎧2f′(−)≤0⎪⎪3由一元二次方程根的分布，有⎨，解得a≥2．⎪1f′(−)≤0⎪⎩3总结：本题转化为一元二次不等式恒成立问题后，借助二次函数图像，利用二次

8、方程根的分布知识，迅速准确地得出正确答案，无疑是此题求解的最佳途径．4.四个注意事项4.1注意区分主元与参数3例3（2006四川）已知函数f(x)=x+3ax−1,g(x)=f′(x)−ax−5,其中f′(x)是f(x)的导函数.对满