不等式恒成立问题中的参数求解策略

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1、不等式恒成立问题中的参数求解策略摘要：不等式恒成立问题的题目一般综合性都比较强，本文结合例题谈谈不等式恒成立问题中参数的求解策略关键词：不等式；恒成立；求解策略四川省仁寿县钟祥中学余仁宏620593在不等式中，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。恒成立条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时数学语言抽象，如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅，是同学们学习的一个难点，同时也是高考命题中的一个热点。下面结合例题浅谈不等式恒成立问题的解题策略题型一、可化为二次函数类型有关

2、含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。常常有以下两类情况：㈠可化为二次函数在R上恒成立问题设，（1）上恒成立；（2）（2）上恒成立。例1对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。解：不妨设，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使，只需，即，解得。变形：若对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。此题需要对m的取值进行讨论，设。①当m=0时，3>0，显然成立。②当m>0时，则△<0。③当m<0时，显然不等式不恒成立。由①②③知。

3、关键点拨：对于有关二次不等式（或<0）的问题，可设函数，由a的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与x轴的交点问题，由判别式进行解决。㈡可化为二次函数在闭区间上恒成立问题设（1）当时，上恒成立，-7-上恒成立（2）当时，上恒成立上恒成立例2已知函数，在时恒有，求实数k的取值范围。解：令，则对一切恒成立，而是开口向上的抛物线。①当图象与x轴无交点满足△<0，即，解得－2

4、问题得到圆满解决。二、利用函数最值法（分离参数法）如果能够将参数分离出来，建立起明确的参数和变量x的关系，则可以利用函数的单调性求解。恒成立，即大于时大于函数值域的上界。恒成立，即小于时小于函数值域的下界。例3（1）求使不等式恒成立的实数a的范围。解析：由于函，显然函数有最大值，。⑵已知二次函数，如果x∈［0，1］时，求实数a的取值范围。解：x∈［0，1］时，，即①当x=0时，a∈R②当x∈时，问题转化为恒成，由恒成立，即求-7-的最大值。设。因为减函数，所以当x=1时，，可得。由恒成立，即求的最小值。设。因为增

5、函数，所以当x=1时，，可得a≤0。由①②知。关键点拨：在闭区间［0，1］上使分离出a，然后讨论关于的二次函数在上的单调性。三、变换主元法，适用于一次函数型在解含参不等式时，有时若能换一个角度，变参数为主元，可以得到意想不到的效果，使问题能更迅速地得到解决。例6若不等式，对满足所有的x都成立，求x的取值范围。解：原不等式可化为令是关于m的一次函数。由题意知解得∴x的取值范围是关键点拨：利用函数思想，变换主元，通过直线方程的性质求解。四、数形结合法对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。例7、当x(

6、1,2)时，不等式(x-1)21,并且必须也只需故loga2>1,a>1,1

7、可转化为恒成立，即参数分离后，恒成立，接下来可转化为二次函数区间最值求解。解：如果时，恒有意义，对恒成立.恒成立。令，又则对恒成立，又在上为减函数，，。2、设函数是定义在上的增函数，如果不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围。分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为对于任意恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。解：是增函数对于任意恒成立对于任意恒成立对于任意恒成立，令，-7-，所以原问题，又即易求得。3、已知当xR时，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立，求实数a的取值范围。方法一）分析：在不等式

8、中含有两个变量a及x，本题必须由x的范围（xR）来求另一变量a的范围，故可考虑将a及x分离构造函数利用函数定义域上的最值求解a的取值范围。解：原不等式当xR时，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立设则∴方法二）题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若采用换元法把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次不等式，从而可利用二次函数