恒成立问题中参数范围求解方法

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1、恒成立问题中参数范围求解方法摘要：恒成立问题在高中数学中较为常见。这类问题的解决渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，实际上只要紧紧抓住“题型”，这类求恒成立时的参数范围的问题便将迎刃而解。关键词：恒成立；参数范围；取值范围；求解方法中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1992-7711(2013)13-0123恒成立问题，在高中数学中较为常见。这类问题的解决渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。此类问题解法灵活、综合性强，部分考生常感到无从下

2、手，茫然不知所措，那么到底如何解决这类问题呢？实际上只要紧紧抓住“题型”，这类求恒成立时的参数范围的题目便将迎刃而解。一、数形结合数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：1.>g(X)函数f(X)图象恒在函数g(x)图象上方；2.f(x)0恒成立f(m)〉0解析：令f(a)=(x-2)a+x2~4x+4,则原问题转化为f(a)〉0恒成立(aE[-l，1])。当x=2时，可得f(a)=0，不合题意。当X关2时，应有f(1)〉0f(-

3、1)>0解之得x3。故x的取值范围为(_°°，1)U(3，+°°)o例4.对于满足a^2的所有实数，求使不等式x2+ax+l〉a+2x恒成立的x的取值范E解析：原不等式转化为(x_l)a+x2-2x+l〉0在a<2时恒成立，设f(a)=(x-1)a+x2-2x+l，则f(a)在[-2，2]上恒大于0，故有：f(-2)>0f(2)〉0即x2-4x+3〉0x2_l〉0解得：x>3或xl或x3即xE[-°°，-1)U[3，+oo)点评：在不等式中出现了两个字母x及a，而我们都习惯x把看成是一个变量，a作为常数。本题可以转换视角，可将a视作自变量，则上述问题即可转化

4、为在a某一范围内关于a的一次函数大于0恒成立的问题。此类题本质上是利用了一次函数在闭区间上的图象是一条线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方(或下方)即可。三、化归二次函数法根据题目要求，构造二次函数。结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范类型1:设f(x)=ax2+bx+c(aT^O)(1)上式恒成立a>0且AO的解集是R，求a的范E解析：要想运用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数a，所以要讨论a_l是否是(1)当a~l=O时，不等式化为2〉0恒成立，满足题意;(2)当a-l^O时，只需a-1〉0△=(a-1)2-8(

5、a-1)0时，f(x)〉0在xE[a，毋]上恒成立，0或a<-f(0)〉0,f(x)=0在xG[a，P]上恒成立(上接第123页)f(a)>0f(3)>0f(x)0或a<-f(P)0显然成立；当△彡0时，如图，F(X)彡0恒成立的充要条件为:△彡0F（一1）彡0^_1解得综上可得实数m的取值范围为[-3，1)。点评：要想运用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，若二次项系数含有参数则对参数进行讨论，若二次不等式中x的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。四、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的

6、最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰、操作性更强。一般地有：1.f(x)f(x)max;2.f(x)>g(a)(a为参数)恒成立g(a)0,当x=2时，f(x)min=f(2)=12，...m+3彡12，得m彡9，Am的取值范围为(-°°,9]o例8.已知二次函数f(x)=ax2+x(aGR,a矣0)，若xE[0,1]时，总有f(x)彡1，试求a的取值范解析：当x=0时，f(0)=0