恒成立问题中含参范围的求解策略

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1、恒成立问题中含参范围的求解策略数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高屮数学的所有知识点,涉及到一些重耍的数学思想方法,归纳总结这类问题的求解策略,不但可以让学生形成良好的数学思想，而□对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，F面就儿种常见的求解策略总结如下，供大家参考。一、分离参数——最值化对于某些恒成立问题，可将其中的参数分离出來，将原问题转化为a>f(x)(或avf(x))在给定区间上恒成立oa>f(x)n和(或avf(x)min),从而将原问题转化为求两数的最人值或最小值问题。例1当XG(-00,1J时，不等式(a-a2)4x+2X+1>°恒

2、成立，求实数a的取值范围。2⑴％a—a〉一一一一解析：因4X>0,所以14丿(2丿对xe(-00,1]恒成立，即有时，f(x)喰f(x)=-

3、max,由于1__323.2._n13—a—a〉—4a—4a—3v0—va<—.4,所以4224.JJj在(-°°，1]上是增函数，所以当X=1丄+丄‘旦例2设a>b>c且a-bb-ca-cfH成立，求实数m的取值范围。m<(a-c)于是3-b(11)<11、'b-ca—b))—+—=[(a-b)+(b-c)]+=1+1+4-2L-0b-C丿—bb—c丿c,所以a-c>01)4b-c丿恒成立,>24-(a-(当且仅当

4、b-c=a-b时取等号)，故mS4。二、数形结合——直观化对于某些不容易分离出参数的协成立问题，可利用函数的图像或相应图形，采用数形结合的思想，直观地反应出参数的变化范围。例3当2()时，恒有(5-“)x2+6x+a+5〉0成立，求实数a的取值范围。解析：令f(x)=(5-a)x2+6x+a+5,由题意，f(x)>0对xw[0,+oo)恒成立。(1)当5-a=0,即a=5时，有6x+1()〉()对xw[0,+co)恒成立。(2)当5-az0时，结合二次函数的图像，2(5-a)«f(0)>05-a>02(5-a)<5-a>0A=36-4(5-a)(a+5)<0或•=>-5

5、<4=>-5

6、+亠"亠+亠例5是否存在常数c,使得不等式2x+yx+2yx+2y2x+y对任意的正实数x,y恒成立？并证明你的结论。2—2_2解析：令x=y得33,冇3先证2x+yx+2y3成立o证3x(x+2y)+3y(2x+y)W2(2x+y)(x+2y)成立o证2xy2xy成立，此时也显然成立。故存在常数c,使得原不等式对任意的正实数x,y恒成立。例6设f(x)=l+2cosx+3sinx。若对于任意xeR,af(x)+bf(x-c)=l恒成立，试确

7、定常数a,b,Cox=0，一，兀解析：取2分別代入已知等式，2bcosc-3bsinc=l-3a-b(1)-2bcosc+3bsinc=1+a—b(2)即3bcosc+2bsinc=1-4a-b(3)(1)+(2)得，a+b=l(4)rh(2)(3)(4)得b-isine=0,cosc=(b工0)bsin2c+cos2c=1得b?=(b-1)_,』a=l解得2,从而2b-1cosc==-1再由b再C=2k7T+K(kGZ).a=b=—,c=2kjt+7i(kwZ)将求解的a、b、c代入已知等式验证适合，故2四、变更主元——简单化对含多个变量问题，有时变换主元与次元的位置，常能达到避繁就简

8、的H的。2x+a-l恒成立,求实数X的取值范碉。z]xx2+axz]x2x+a-l_V_<=>7解析:不等式(2丿(2丿不等式+ax>2x+a-1g卩(x-1)〜>-a(x-1)记f(a)=a(x-l)+(x-l)2,则问题转化为一次函数(或常数函数)在区间［—1,1］内恒为正的x应满足的条件。f(-l)>0由(f⑴>()得f(x-l)2-(x-l)>0.<<=>x<0〔(X_1)2+(x-1)>0或x>2.故实数X的取值范围是(Y