浅谈“不等式恒成立问题中参数范围的求解策略”

《浅谈“不等式恒成立问题中参数范围的求解策略”》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、浅谈“不等式恒成立问题中参数范围的求解策略”广东北江中学黄永石内容摘要：在这几年的高考中经常会出现“不等式恒成立”这类问题，由于该类问题涉及的知识面广、综合性强、解法灵活，学生经常会无从下手.而解决这类问题的关键是：能够对“不等式恒成立问题”进行等价转化，把这类问题转化为对两数性质的考察.本文列举实例，介绍这类问题的一些基本的求解策略.关键词：不等式、恒成立、分离变量、参数一、利用分离变量法，求参数的取值范围例1.(2008年上海卷)已知函数f(x)=2x-—.(1)若/(%)=2,求兀的值;(2)若2丁⑵)+吋(心0对于re

2、[1,2]恒成立,求实数加的取值范围.【解】(1)当x<0时，/(x)=0;当沦0时=2由条件可知,2"-丄=2,即22x-2-2x-1=0,解得2X=1±V2.2X・・•2x>0,,x=log2(H-V2)>0,即-l)>-(24f-1).•・•22z-1>0,m>—(2“+1).令g(r)=-(22/+1)，vre[1,2],・•・[g(叽=-5,所以/n>[g(/)]max=二-5.故m的収值范围是[-5,亦)【点评】对于这类不等式恒成立问题，我们根据其特征町以用分离变量法來解决.所谓分离变量法就是将参数与未知量分离丁

3、•表达式的两边,然后根据未知量的取值范围情况决定参数的范围.常用的两个恒成立原理：(1)6/>/W恒成立oa>[/(x)]niax；(2)«

4、h成立<=>tz<[/(x)]max.利用分离变量法把这类不等式恒成立问题转化成求函数的最值问题.二、利用函数的性质，求参数的取值范围1•利用“三个二次”(二次函数、二次不等式、二次方程)的关系进行相互转化，从而求参数的取值范围.常见类型有：设二次函数f(x)=ax2^-bx+c(1)对一切XWR,不等式/(x)>0或(50)恒成立O：；：》或

5、不等式/(x)>0或(50)恒成立<=>[/(兀)]罰“或M(x)]唤50例2.已知f(x)=x2+2ax+1(1)对一切XWR,不等式/(X)>0tH成立，求实数G的取值范围；(2)对一切xg[0,2],不等式f(x)>a2恒成立，求实数a的取值范围.【解】(1)对一切xwR,不等式/(x)>0^h成立<=>△=46?2-4<0,解得一IWqWI(2)对_切xwD,不等式/(x)>a2恒成立«[/(x)]^>a2[-a<0[0<-a<2U/(x)]min=/(0)=>a2[[/(x)]min=f(-a)=-a2>a2或严

6、>2I"⑴％=/(2)=5+4沦/解得05d51或—f，所以Q的取值范围为[_J3,]]【点评】对于这类不等式怛成立问题，比较难分离变量，并且又是二次不等式问题，所以我们可以利用“三个二次”(二次两数、二次不等式、二次方程)的关系进行相互转化，从而求参数的取值范围.2•利用函数的单调性，求参数的取值范围例3.(2008年天津卷)已知函数/(x)=x4-—+b(x0),M-中(I)若曲线y=/(x)在点P(2,/(2))处的切线方程为y=3x+l,求函数/(兀)的解析式;(II)讨论函数/⑴的单调性；(III)若对于任意的aw-

7、,2,不等式/(x)<10在-,1上恒成立,求b的取值范围.【解】(I)厂(兀)=1一二，由导数的几何意义得广(2)=3,于是a=—8.由切点P(2,f(2))在直线y=3兀+1上可得一2+b=7,解得b=9.Q所以函数/(x)的解析式为fM=x一一+9.（II）r（x）=1_7-当dSO时，显然广（x）>0（兀工0）.这时f（x）在（-00,0）,（0,+00）上内是增函数.当°〉0时，令/V）=0,解得x=±需.当x变化吋，广（％）,/（幻的变化情况如下表:X(-00,-需)-y[a(―Va,o)（0,需）(需,+00)广

8、⑴+0——0+/U)7极大值极小值/所以/（兀）在（-co,-乔），（奶,+00）内是增函数，在（-乔,（）），（0,+oo）内是减函数.39b<—-4a4b<9-a（III）由（II）知，于⑴在［丄,1］上的最大值为/（-）Uf⑴的较大者，对于任意的4・411）<10aw［—,2］,不等式/（x）<10在［―,1］上叵成立，当且仅当『42°几1）510对任意的QW［丄,2］成立.从而得/7<-,所以满足条件的b的取值范围是（-00,?］.244【点评】对于这类不等式恒成立问题，也是比较难分离变量，并且乂不是二次不等式问题,

9、但我们可以利用两数的单调性，求参数的取值范围.三、利用数形结合法，求参数的取值范围某些含参不等式恒成立问题，既不能分离参数求解，又不能转化为某个变量的一次或二次函数时，则可采用数形结合法.变抽象为宜观，充分运用肓感，由数思形，以形辅数.对于解含参不等式恒成立问题，我们可以先把