高考不等式恒成立问题参数取值范围求解策略

《高考不等式恒成立问题参数取值范围求解策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、高考不等式恒成立问题参数取值范围求解策略　　纵观近几年的全国高考，由“不等式恒成立”去确定参数的取值范围的试题越来越受到命题者的青睐.因为，从内容上讲，这类试题的覆盖面广，涉及函数、导数、数列（一类特殊的函数）、不等式等方方面面；从考查能力的角度讲，该类试题不但可以很好地考查考生的“双基”，而且可以考查考生对数学的感悟力、穿透力与创造力，是展示考生综合能力的一个平台.但同时我们必须看到“不等式恒成立”问题确是我们数学教学中的一大难点，考生的得分率普遍偏低就是一个明证.有效地突破这一难点是每个高中数学教师亟待解决的一大课

2、题.结合自身的教学经验，笔者以为要突破难点应力求做到：理论上合法、思维上合理、实践（操作）上合情，即做到有“法”可依，执“法”分明.本文以2011、2012两年高考浙江卷上的几个试题为例，阐述突破此难点的策略.一、函数最值法试题1设函数f（x）=（x-a）2lnx，a∈R.（Ⅰ）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a；（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈[0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立（注：e为自然对数的底数）.6[2011年高考浙江卷理科第（22）题]分析处理“不等式f（x）≤C（C为常数），x∈A恒成

3、立”问题，首当其冲的方法莫过于“函数最值法”了——只要函数f（x）的最大值M≤C即可，以彰显“理论上合法”.解法1（Ⅰ）a=e或a=3e.（Ⅱ）注意到，当0■>0（因x>1≥a），所以，f′（x）>0，f（x）在[1，3e]上是增函数，其最大值M=f（3e）=（3e-a）2ln3e>（3e-1）2>（2e）2=4e2.若1　　于是，令f′（x）=0，得x1=a，x2=x0，连续函数f（x）在闭区间[1，3e]上的最大值M=max{f（1），f（a），f（x0），f（3e））}=max{f（x0），f（3e）}（因f（1

4、）=f（a）=0）.而由②式，知f（x0）=（x0-a）2lnx0=（-2x0lnx0）2lnx0≤（2elne）2lne（因13e，则由“题眼”（Ⅰ）小题结论，知f（x）在闭区间[1，3e]上的最大值M≥f（e）=（e-a）2>（2e）2.综上所述，连续函数f（x）在闭区间[1，3e]上的最大值M≤4e2的充要条件是③，即为f（x）≤4e2，x∈（0，3e]恒成立的充要条件.解法1突出了高中数学学习中的分类讨论思想，其思维方式自然.6焦点在于根据导函数f′（x）的一个零点x=a和函数f（x）的定义区间（0，3e]的端

5、点3e进行有机的分类；其间函数g（x）的单调性驱使我们对其零点x0的范围作出合理的估计，理论上为获取f（x）在闭区间[1，3e]上的最大值铺平道路.其间对于由②式给出的导函数f′（x）的零点x0，我们采用了“设而不求”的处理方法，实乃当今高考的一个新亮点.二、分离参数法处理含参数的“不等式F（x，a）≤0，x∈A恒成立”问题，如若能分离出其中的参数a≤G（x）（或a≥G（x）），x∈A，则可以把问题归结为求不含参数的函数G（x）的最小（或最大）值问题了，这是为广大师生所喜闻乐见的，以彰显“思维上合理”.解法2（Ⅱ）同解

6、法1，原问题等价转化为f（x）=（x-a）2lnx≤4e2，x∈（1，3e].恒成立.由此分离参数为x-■≤a≤x+■，x∈（1，3e].④恒成立.记④式的左、右两边分别为h1（x），h2（x），这样便把问题归结为求h1（x）的最大值与h2（x）的最小值问题了.显然，h1（x）=x-■在x∈（1，3e]上是增函数，所以，h1（x）的最大值为h1（3e）=3e-■；对h2（x）求导：■（x）=1-■，x∈（1，3e）.⑤观察易见，■（e）=0且当10.6所以，h2（x）在（1，e]上是减函数、在[e，3e]上是增函数，得

7、h2（x）的最小值h2（e）=e+■=3e.于是，④式恒成立的充要条件是3e-■≤a≤3e，即为f（x）≤4e2，x∈（0，3e]恒成立的充要条件.“分离参数法”的前提是“可分离”.它的特点是：化繁为简、化难为易，具有极强的可操作性和极佳的实战效应.另，求函数的唯一零点的一种有效方法是用观察法求出一个零点并证明函数的单调性.求⑤式中导函数■（x）的唯一零点正是如此.三、“必要条件”解题术利用“必要条件”探索高考中的“不等式恒成立”问题较“函数最值法”不但有异曲同工之效，而且还有缩小实参数范围之奇妙（有时甚至缩小到一个“

8、点”）.“山重水复”时，不妨一试，准能彰显“战术上合情”.　　解法3（Ⅱ）同解法1，原问题等价转化为f（x）=（x-a）2lnx≤4e2，x∈[1，3e]④’恒成立.（由“题眼”（Ⅰ）小题结论）其必要条件是f（e）=（e-a）2≤4e2，f（3e）=（3e-a）2ln3e≤4e2.？圳3e-■≤a≤3e.⑥用“函数最值法”可检验其