如何求恒成立问题中参数的范围.doc

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1、如何求恒成立问题中参数的范围湖南省衡东县欧阳遇中学廖鹏飞恒成立问题是中学数学的一类很重要的题型，它是函数、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点,很好地考查了分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想方法.其中往往是以求某一个参数的范围为命题方向，解答这类问题常常有如下几种常用技巧和思路：1.判别式法例1　若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围．解：当时，显然对一切实数恒成立；当时，要使不等式对一切实数恒成立，须有，即解得．综上，的取值范围是．注：不等式对任意实数恒成立或；不等式对任意实数恒成立或2.构造函数法①一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解.例2.对于一

2、切

3、m

4、≤2，不等式恒成立，求实数x的取值范围.解：设，当时，不符合题意.当时，要使在上恒成立，则：.故②二次函数型问题，结合抛物线图像.例3.对于

5、x

6、≤2，不等式恒成立，求实数m的取值范围解：设.当时，>0，符合题意.当时，∵图像对称轴为，∴>0在上恒成立△，解得：当时，∵，∴>0在上恒成立,即，解得：.综上，注：若已知条件中的变量有两个，其中有一个变量的范围已知，若该变量为一次，则可以采用一次函数法，若为二次，则可以采用二次函数法，注意分类讨论思想的应用.3.直接利用图象判断例4.当x(1,2)时，不等式(x-1)2

7、=(x-1)2y2=logax分析：本题若直接求解，则较为繁难，若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为对数函数的图象，借助图形可直观、简捷求解．解：设y1=(x-1)2,y2=logax，则在同一坐标系内y1、y2的图象如右图所示，要使对一切x(1,2),y11,并且只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值.故loga2>1,a>1,∴1g(x)）型问题，一般先利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理。4.分离参数法例5.若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．解

8、：∵，∴对一切恒成立.令，∵函数在区间上是增函数，∴．　故对一切恒成立，　即所求实数的取值范围为．注：先把所求的参数分离出来，得到含参数的表达式，借用重要结论：“不等式恒成立；不等式恒成立”，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使问题获解.