参数范围(求恒成立问题)

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1、专题——求参数取值范围一般方法概念与用法恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。题型特点大多以已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。这样的题型会出现于代数中的不等式里也会出现在几何里。就常考题型的一般题型以及解题方法，我在这里做了个小结。题型以及解题方法一，分离参数在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若恒成立，只须求出，则；若恒成立，只须求出，则，转化为函数求最值。例1、已知函数，若对任意恒有，试确定的取值范围。解：根据题意得：在上恒成立，即：在上恒成立，设，则当时，所以例2．已知当xR时，不等式a+cos2x<54si

2、nx+恒成立，求实数a的取值范围。分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（xR），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。解：原不等式即：4sinx+cos2x3即>a+2上式等价于或，解得a<8.说明：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=12sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关

3、于t的二次函数类型。二，变主换元在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量看成是主元（未知数），而把另一个变量看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。例3．对于满足

4、p

5、2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。分析：在不等式中出现了两个字母：x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在[2，2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。解：不等式即(x1)p+x22x+1>0,设f(p)=(x1

6、)p+x22x+1,则f(p)在[2,2]上恒大于0，故有：即解得：∴x<1或x>3.例4、若不等式对满足的所有都成立，求的取值范围。解：设，对满足的，恒成立，解得：三，利用二次函数根的分布例5.设f(x)=x22ax+2,当x[1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。分析：题目中要证明f(x)a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[1,+)时恒大于0的问题。解：设F(x)=f(x)a=x22ax+2a.ⅰ)当=4（a1)(a+2)<0时，即2

7、以下充要条件：-1oxy即得3a2;综合可得a的取值范围为[3，1]四，利用集合与几何之间的关系在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：，则且，不等式的解即为实数的取值范围。例6、当时，恒成立，求实数的取值范围。解：（1）当时，，则问题转化为（2）当时，，则问题转化为综上所得：或五，几何中的求参要确定变量k的范围，可先建立以k为函数的目标函数，从而使这种具有函数背景的范围问题迎刃而解。小练一下1．已知函数时恒成立，求实数的取值范围。2.已知不等式对恒成立，求实数的取值范围。3.已知不等式对恒成立，求实数的取值范围。4.

8、已知不等式对恒成立，求实数的取值范围。5.已知不等式对恒成立，求实数的取值范围。6.已知不等式对恒成立，求实数的取值范围。7.对任意，不等式恒成立，求的取值范围。