函数零点问题中参数范围的求解

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1、在函数零点问题中求解参数范围江山中学杨作义王芳根据函数的零点情况，讨论参数的范围”是高考考查的重点和难点.对于这类问题，我们可以利用零点定理、数形结合思想、函数单调性与参数分离思想来求解.一、利用零点定理求解参数范围如果函数y=/(x)在［a,b］上连续且满足f(a)•.f(b)<0,则y=/(x)在区间(□")上至少存在一个零点，即存在cw(d,Z?),使得/(c)=0.这就是零点定理.对于高中阶段常遇到的问题：“已知连续函数歹=/(兀)在［⑦列上单调，且在区间«")上存在一个零点，求参数的范

2、围”可用f(a)-f(b)<0求解.例1［2012年高考数学天津卷(理科)第4题改编］已知函数/(x)=2”+/—a(awR)在区间(0,1)内存在一个零点，则实数Q的取值范围是.解：因为函数/(兀)在区间(0,1)内存在一个零点，故/(0)-/(1)<0,整理得(1—a)(3—q)<0,解得l

3、(X)的零点.因此对于含参数函数f(x)=g(x)-h(x^我们可以利用数形结合思想作出g(xh(x)的图彖，并根据两图彖的交点情况求解参数范围.把原函数转化为两个函数时，要注意转化得到的两个函数的图象应该是比较容易画出的.在作图时，要利用函数奇偶性、单调性等性质，并标注出函数图象上的零点、最高点、最低点等一些特殊点，尽量把图象画准确，避免误判.x>2；例2［2011年高考数学北京卷(理科)第13题］已知函数/(劝彳兀若关于无的方程f(x)=k(x-1)3,x<2・有两个不等的实根，则实数R的

4、取值范国是・2解：当兀n2时，f(x)=一，此时f(x)在［2,4W)上单调递减，且01。如图1所示作出函数丿二/(兀)的图象，由图可得/(兀)在(-oo,2)±单调递增且/(x)<1,/(兀)在［2,+oo)上单调递减且0

5、参数的范围”是高考考查的重点和难点.对于这类问题，我们可以利用零点定理、数形结合思想、函数单调性与参数分离思想来求解.一、利用零点定理求解参数范围如果函数y=/(x)在［a,b］上连续且满足f(a)•.f(b)<0,则y=/(x)在区间(□")上至少存在一个零点，即存在cw(d,Z?),使得/(c)=0.这就是零点定理.对于高中阶段常遇到的问题：“已知连续函数歹=/(兀)在［⑦列上单调，且在区间«")上存在一个零点，求参数的范围”可用f(a)-f(b)<0求解.例1［2012年高考数学天津卷(理

6、科)第4题改编］已知函数/(x)=2”+/—a(awR)在区间(0,1)内存在一个零点，则实数Q的取值范围是.解：因为函数/(兀)在区间(0,1)内存在一个零点，故/(0)-/(1)<0,整理得(1—a)(3—q)<0,解得l

7、用数形结合思想作出g(xh(x)的图彖，并根据两图彖的交点情况求解参数范围.把原函数转化为两个函数时，要注意转化得到的两个函数的图象应该是比较容易画出的.在作图时，要利用函数奇偶性、单调性等性质，并标注出函数图象上的零点、最高点、最低点等一些特殊点，尽量把图象画准确，避免误判.x>2；例2［2011年高考数学北京卷(理科)第13题］已知函数/(劝彳兀若关于无的方程f(x)=k(x-1)3,x<2・有两个不等的实根，则实数R的取值范国是・2解：当兀n2时，f(x)=一，此时f(x)在［2,4W)

8、上单调递减，且01。如图1所示作出函数丿二/(兀)的图象，由图可得/(兀)在(-oo,2)±单调递增且/(x)<1,/(兀)在［2,+oo)上单调递减且0