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《高中数学教师备课必备系列（函数的应用）：专题七在函数零点问题中求解参数范围含解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、函数的零点是高中新课标中新增内容，在教材中给出了具体的定义：“对于函数y=/(x),我们把使/(%)=0的实数x叫做函数/(%)=0的零点,这样函数y=f(x)的零点就是方程/(%)=0的实数根，也就是函数y=/(x)的图彖与X轴交点的横坐标，所以方程/(%)=0冇实根o函数y二/(兀)的图象与X轴有交点o函数y二/(兀)有零点”对于函数零点问题，我们除了可应用根的存在性定理直接求解外，还可利用“方程f(朗=0有实根o两数y=.f(兀)的图象与X轴有交点o函数y=/(劝有零点”题目进行适当转换，得到各种不同的求解策略。兹总结如下：一、函数零点的存在性定理指出：“如果函数y=/(
2、x)在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且f(a)f(b)<0,那么，函数y=/(x)在区间(a,b)内有零点,即存在cw(a,b),使得/(c)=0,这个c也是方程/(兀)=0的根”。根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否冇零点(或方程在某个区间上是否冇根)时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如2例1、函数/(x)=ln(x+l)-—的零点所在的人致区间是()x(A)(0,1)；(B)(1,2)；(C)(2,e)；(D)(3,4)。2分析：显然函数f(x)=ln(x+l)——在区间上是连续函数,ja/(l)<0,/(2)>0,所x2以由根的存在性定
3、理可知,函数f(x)=ln(x+1)-一的零点所在的大致区间是(1,2),选Bx例2.函数于(兀)=/在下列区间是否存在零点？()(A)(-3,-1)；(B)(-1,2)；(C)(2,3)；(D)(3,4)。分析：利用函数零点的存在性定理分析，函数/(兀)=/在所给出的四个区间中都不满足条件f(b)<0，但由函数/(%)=兀$的图象可知它一定有零点x=O。仅当函数y=f(x)在区间上是单调函数时，函数零点的存在性定理才是函数存在零点的充要条件。二、求解有关函数零点的个数(或方程根的个数)问题。函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题
4、，我们可以通过适当构造函数，利川函数的图彖和性质进行求解。如：1.对于求一个陌生函数的零点个数，若能把已知函数分解成两个熟悉的函数，那么可利用构造函数法化归为求两个熟悉函数图象的交点个数求解，如:例3.求/(x)=x2-2X零点的个数。分析：本题直接求解，无法下手，由函数f(x)=x2-2x的零点也是方程/(x)=x2-2x=0的根，即方程F二2"的解，但这个方程不是熟悉的常规方程，由方程的解与两函数图象交点的关系，可构造函数必=兀2、旳=2",在同一坐标系中作出它们的图象，可得出它们有三个交点，所以/(%)=x2-2A零点的个数有三个。2对于一元髙次函数，可利用导数法研究函数
5、图象的特征，作出函数的图象，确定图象与X轴交点的情况求解。如：例4•函数f(x)=x3-6x2+9兀—10零点的个数为—分析：•//(%)=x3-6x2+9兀一10,・•・/(x)=3x2一12兀+9=3(%一1)(兀一3)令/(%)=0,得X,=1,x2=3列出x,y；y的对应值表如下：X1(1,3)3(3,+oo)y+0—0+y增函数$极大值=-6减函数y极小值=j°增函数作出函数/(x)=x3-6x2+9x-10的草图可知,函数/(Q的图象MX轴仅有一个交点，则/(%)仅有一个零点。注意：本类型题的特点是找岀函数/(兀)的图象与X轴交点,实质上仍是求函数y=/(兀)与函数
6、y=0交点的情况。若把y=0分析：方法1：直接模仿例4的解法，可得如下表格:X1(1,3)3(3,+8)y+0—0+y增函数V极人偵=_6_a减函数y极小值增函数然后再结合函数/(兀)的图象与X轴的关系，确定分类讨论的标准，由极大值、极小值与零的关系，讨论图象与X轴交点情况，得出如下结论：当y拔小例=_io_q>o即av—io时有一个交点；当y拔小逍=_10_Q=o即^=-io时有两个交点：当V拔小席=一1°一。<°且池大世=-6-a>0即一10<6/<-6吋有三个交点；当了极人值=-()-a=0即a=-6时有两个交点；当y^A-^=-6-a<0即a>-6时有一个交点.方法2：
7、通过构造函数/(x)=x3-6x2+9x-10与gCr)=d转化求解，利用例4的方法可得到函数y=/(x)的图象，讨论两个函数图象的位置关系,可得出结论：当67G(-oo,-10)仅有一个零点；当a=- 有二个零点；当GW(-10,-6)有三个零点；当0=-6时有二个零点；当dW(-6,+00)仅冇一个零点。例6、已知。>5,函数/(%)=x3-ax2+在区间(0,3)内零点的个数为_。分析：木题利用导数法可得出y=/(x)在区间(0,3)上是单调递减函数，且/(0)=1>0,/(3)=
