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《高中数学教师备课必备系列（函数的应用）：专题七在函数零点问题中求解参数范围4832》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、专题七在函数零点问题中求解参数范围函数的零点是高屮新课标小新增内容，在教材小给出了具体的定义：“对于两数y=/(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数/(x)=0的零点，这样函数y=/(x)的零点就是方程/(x)=0的实数根，也就是函数y二/(兀)的图象与X轴交点的横朋标，所以方程/(x)=0有实根o函数y=/(x)的图象与X轴有交点o函数y=/(x)有零点”对于函数零点问题，我们除了可应用根的存在性定理直接求解外，述可利用“方程/(%)=0有实根o函数y=/(x)的图彖与X轴冇交点o函数y=/(兀)有零点
2、”题冃进行适当转换，得到各种不同的求解策略。兹总结如下：一、函数零点的存在性定理指III："如果函数y=/(兀)在区间a,b]±的图彖是连续不断的一条曲线,并_af(a)f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在ce(o,b),使得/(c)=0,这个c也是方程f(x)=0的根”。根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点(或方程在某个区间上是否有根)时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必耍条件：如2例1、函数/(x)=ln(x+l)-一的零点所在的大致区间是()x(A
3、)(0,1)；(B)(1,2)；(C)(2,e)；(D)(3,4)。2分析：显然函数f(x)=ln(x+l)一一在区间1,2]±是连续函数,且/(1)<0,/(2)>0,%2所以由根的存在性定理可知，函数/W=ln(x+1)-—的零点所在的大致区间是(1,2),选%B例2.函数/(兀)=，在下列区间是否存在零点？()(A)(-3,-1)；(B)(-1,2)；(C)(2,3)；(D)(3,4)。分析：利用函数零点的存在性定理分析，函数/(x)=X2在所给出的四个区间中都不满足条件f(a)f(b)<0，但由函数f(
4、x)=x2的图象可知它一定有零点x=0。仅当函数y=f(x)在区间a,b]上是单调函数时，函数零点的存在性定理才是函数存在零点的充要条件。二、求解有关函数零点的个数(或方程根的个数)问题。函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如：1.对于求一个陌生函数的零点个数，若能把已知函数分解成两个熟悉的函数，那么可利丿IJ构造函数法化归为求两个熟悉两数图象的交点个数求解，如：例3.求f(x)=x2-2x零点的个数。分
5、析：木题直接求解，无法下手，由函数/(x)=X2-2v的零点也是方程/(x)=x2-2A=0的根，即方程%2=2v的解，但这个方程不是熟悉的常规方程，山方程的解与两函数图象交点的关系，可构造函数％=*、儿=2”，在同一处标系中作出它们的图象，可得出它们有三个交点，所以/(x)=x2-2"零点的个数侑三个。2对于一元高次两数，町利川导数法研究函数图彖的特征，作出函数的图彖，确定图彖与X轴交点的情况求解。如：例4.函数/(兀)=x3-6x2+9兀一10零点的个数为分析：・••/(_¥)=«?_6兀2+9兀_io,・
6、•・//(兀)=3兀2—12x+9=3(x—1)(兀一3)令.广(兀)=0,得兀］=1,兀2=3列出X,y",y的对应值表如下:X(-00,1)1(1,3)3(3,+oo)+0—0+y增函数了极大值~减函数=t°增函数作出函数/(x)=x3-6x2+9x-10的草图可知,函数/(兀)的图象与X轴仅有一个交点，则/(兀)仅有一个零点。注意：木类型题的特点是找出函数/（x）的图彖与X轴交点，实质上仍是求函数.y二/（兀）与函数.y=0交点的情况。若把y=0换成y=相当在原题中引入参数a,得出一般情况卜•的解法，如:
7、分析：方法1：肓接模仿例4的解法，可得如下表格:X(-°°,1)1(1,3)3(3,+g)/y+0—0+y增函数W大值=-6-°减函数$极小值=7。-a增函数然后再结合函数/（X）的图象与X轴的关系，确定分类讨论的标准，山极大值、极小值与零的关系，讨论图象与X轴交点情况，得岀如下结论：当y彼小传=—°>。即av—io时有一个交点；当y彼小仍•=—1°—°=。即a=-io时有两个交点；当V拔小猫=一10—。V°且y极人值=-6-a>0即—10vQv—6时有三个交点；当丫极大值=-6-a=0即a=-6时有两个交点；
8、当予樣大值=-6-a<0即a>-6时有一个交点.方法2：通过构造函数/（兀）=P-6兀$+9兀一10与g（x）=d转化求解,利用例4的方法可得到函数y=/(x)的图彖，讨论两个函数图彖的位置关系，可得出结论：当gw(-oo,—I0)仅有一个零点；当67=-10有二个零点；当67G(-10-6)有三个零点；当0=-6时有二个零点；当aw(-6,4-00)仅有一个零点。例6、已知q>5,函
