高中数学教师备课必备系列（函数的概念及性质）：专题五函数的值域及求法含解析

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1、£9-相关概念1、值域：函数y=/0）,xgA,我们把函数值的集合｛f（x）/xeA｝称为函数的值域。2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的授小（大）值。因此，求函数的授值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。J二确定函数值域的原则1、当函数y=/（x）用表格给出时,函数的值域指表格中实数y的集合;X0123y二f(x)1234则值域为｛1,2,3,4｝2、数J=/U）的图像给出时，函数的值域是指图像在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合;3、数y=f（x）用解析式给出时

2、，函数的值域由两数的定义域及其对应法则唯一确定；4、由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定。三基本函数的值域1、一次函数y=kx+b（qhO）的值域为R；2、二次函数y=a^+hx-^-c。>0时，值域是［地土，+oo）;gvO时，值域是（-co严％］3、反比例函数）,二土仏北0）的4a4ax值域为｛y/y工（）｝；4、数函数y=aa>Q^a^l）的值域为｛y/y>0｝；5、对数函数y=1）的值域为R。6,函数y二sinx、y=cosx的值域是［-1,1］$四求函数值域的方法1、观察法：“直线类，反比例函数类”用此方法；2、配方法.：“二

3、次函数”用配方法求值域；例1.求函数y=3^2一兀+2xe（-3,5]的值域;解：求函数"3—+2=3（计+寻画出图像（图略）从图可知,I731兀=三时斷=百；兀=5时，y吨=3(5--)2+—=72.o12o12所以此函数的值域为[巻~，72].例2.求函数y=V-x2-6x-5的值域;解：设//=一兀2—6兀一5,贝(J//>0;jn=-x2-6x-5=-(x+3)2+4<4;又/.0

4、函数y=2x+4a/1-x的值域解：设/=贝吹=1一尸，・・・丿=一力2+生+2=_2（『_1）2+454,・•・值域为（—co,4].3、判别式法：形如歹=山「+勺兀+5（①,血不同时为零）的函数用判别式法求值域；a2X^+/?2兀+（2例4求函数y=x+丄的值域；X解：y=x+—=X+=>x2-yx+l=0要上圓的方程有实数根〉A=（—J）2—4xlxl=j?2—4>0XX求出y>2^y<-l,所以函数的值域为（YD,-2]Y[2?+oo>4、反函数法：玄接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。形如y=”+〃（Q主0）

5、的函数用反函数法求值域；例求函数y二込1值域。cix+b5x+65、分离常数法：形如〉，=竺«@工0）的函数也可用此法求值域；ax+b例5求函数y=3A+'的值域；天一22+]解：方法-：（反函数法）求出函数尸专的反函数为严七，其定义域为{x/xw/?FUh3},所以原函数的值域为{y//?且)，工3}方法二:(分离常数法)・.・>，=2£±1=3(x_2)+7=3+^_,x—2%-2x—2•••—-—工0,3+—-—H3.)‘=‘X+'的值域为{)，/ywR且y工3}.x—2兀一2x—26、函数有界性法（通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容

6、）H接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例求函数y二匕二1,2sin£-lt的值域ex+1•l+sin&7、数形结合法°例6求函数y=

7、x-l

8、+

9、x+4

10、的值域（方法一可用到图象法）方法二：(单调性〉x<-4Qtj=-2x-3为减函数.-.y>-2x(-4)-3=5;当x>10^>y=2x+3为増函数；.j>2xl+3=5当-4

11、值域是，贝ij函数尸丨/U）I的值域是A.B.C.D.2.函数y=log0.3（x2+4x+5）的值域是.3.函数/（兀）二J—4/+4兀+8的值域为.4.定义域为R的函数y=tx）的值域为，则心金的值域为A.B.C.D.5.若函数f（x）=21og,x的值域是，则函数f_1（x）的值域是（c[

12、,2

13、n(卡2",+8)6.求下列函数的值域:函数尸卄问匚i的值域是C.{y

14、y^O}D.{y

15、y^0}1.⑴厂；r一兀+12.已知Xi>X2是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0(keR)的两个实根，求x「+x2,的故大值。3.已知函数y=yjm

16、x2-6mx+m+8的处义域为R.(1)求实数m的取值范围。(2)当m变化时，若y的最小值为f(m),求f(