高中数学 第一章 导数及其应用本章整合 新人教b版选修

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1、高中数学第一章导数及其应用本章整合新人教B版选修2-2知识网络专题探究专题一　导数的几何意义的应用1．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝tanα＝f′(x0)．2．利用导数求曲线过点P(x0，y0)的切线方程时要注意首先判断点P是否在曲线上，若点P在曲线上，则切线斜率即为f′(x0)，切线方程易得；若点P不是曲线上的点，则应首先设出切点Q(x1，y1)，则切线斜率为f′(x1)，再结合kPQ＝f′(x1)以及y1＝f(x1)进行求解．【例1】已知函数f(x)＝＋1，g(x)＝alnx，若在x＝处函数f

2、(x)与g(x)的图象的切线平行，则实数a的值为(　　)A.B.C．1D．4解析：由题意可知f′(x)＝，g′(x)＝，由f′＝g′，得×＝，可得a＝，经检验，a＝满足题意．答案：A【例2】已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x－a)相切，则实数a的值为(　　)A．1B．2C．－1D．－2解析：设直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x－a)相切的切点为(x0，y0)，则y0＝x0＋1且y0＝ln(x0－a)．又∵y′＝，∴y′x＝x0＝＝1，即x0－a＝1，故x0＝a＋1，所以a＋1＋1＝ln(a＋1－a)，解得a＝－2.答案：D专题二　利用导数研究函数的单调性1．求函数单调区间的步骤如下

3、：(1)确定f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)＞0(或f′(x)＜0)解出相应的x的范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f′(x)＜0时f(x)在相应区间上是减函数．2．已知f(x)在区间I上单调递增(递减)，等价于f′(x)≥0(≤0)在区间I上恒成立，由此可根据不等式恒成立求得函数解析式中所含参数的取值范围．3．在利用导数的符号判断函数的单调性的解题过程中，只能在函数的定义域内通过讨论导数的符号，判断函数的单调区间．解单调性的题目时要注意判断端点能否取到．【例3】已知函数f(x)＝x2－4x＋(2－a)lnx，a∈R.(1)当a＝

4、8时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在[2，＋∞)上单调递增，求a的取值范围；(3)若f(x)存在单调递减区间，求a的取值范围．解：(1)当a＝8时，f(x)＝x2－4x－6lnx，f′(x)＝2x－4－＝，令f′(x)＞0得x＞3；令f′(x)＜0得0＜x＜3，所以f(x)的增区间是(3，＋∞)，减区间是(0,3)．(2)由题意知f′(x)＝2x－4＋≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a≤2x2－4x＋2.令g(x)＝2x2－4x＋2＝2(x－1)2，则g(x)在[2，＋∞)上的最小值为g(2)＝2.所以a≤2.(3)依题意f′(x)＝2x－4＋＜0在(0，＋∞)上有解，即2

5、x2－4x＋2－a＜0在(0，＋∞)上有解，因此必有Δ＝16－8(2－a)＞0，即a＞0.专题三　利用导数研究函数的极值与最值1．求可导函数f(x)极值的步骤(1)求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数f(x)在这个根处取得极小值．2．函数的最大值与最小值设y＝f(x)是定义在区间[a，b]上的函数，y＝f(x)在(a，b)内有导数，求y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值，可分两步进行：

6、(1)求y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将y＝f(x)在各极值点的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．3．利用函数的导数求极值和最值主要有两类题型：一类是给出具体的函数，直接利用求极值或最值的步骤进行求解．另一类是告诉极值或最值，求参数的值．【例4】已知函数f(x)＝ax3＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函数，当x＝1时，f(x)取得极值－2.(1)求f(x)的单调区间和极大值；(2)求证：对任意x1，x2∈(－1,1)，不等式

7、f(x1)－f(x2)

8、＜4恒成立．(1)解：由奇函数的定义有f(－x)＝－f(x)，x∈R，即－ax3－cx

9、＋d＝－ax3－cx－d，∴d＝0.因此f(x)＝ax3＋cx，f′(x)＝3ax2＋c.由条件f(1)＝－2为f(x)的极值可知，必有f′(1)＝0，故解得因此f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－1)上是增函数；当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－1,1)上是减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(1，＋∞)上是增函数．∴f(x)在x