高中数学第一章导数及其应用本章诊疗学案新人教a版选修2

《高中数学第一章导数及其应用本章诊疗学案新人教a版选修2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第一章导数及其应用一、变化率与导数1．函数在处的导数是根据瞬时变化率定义的，即；运用其解题易忽视增量必须一样，否则产生错解．2．函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率．即斜率为，过点的切线方程为．注意“过某点的切线”与“在某点的切线”是不同的．3．与的关系：表示在处的导数，即是函数在某一点的导数，也就是一个常数；表示函数在某一给定开区间内的导数，此时是在上的函数，即是在内任意一点的导数．例1设是可导函数，且满足，则过曲线上点处的切线斜率为（）(A)(B)(C)(D)错解：由导数的定义可知，再结合导数的几何意义知，过曲线上点处的切线

2、斜率为，选B．剖析：中增量为，而分母中增量为，显然增量不一致，上述解法忽视了增量的一致性产生了错解；故需通过配凑增量的系数来解决问题．正解：，∴，故选D．【针对练习1】已知函数，当无限趋近于0时，则有=．例2求曲线C：过点的切线方程.错解：因为点A在曲线S上，所以斜率，因此过点A的切线方程为：.．剖析:上述解法漏掉一解，切线方程为的情况．错误原因是混淆“过某点的切线”与“在某点的切线”两个概念．正解：设切点为,则点处的切线的方程是：，因为A点在直线上，所以：……………….(1)又因为点P在曲线S上，所以：………(2)由（1）、（2）解得，或.当时

3、，点坐标为，切线方程是：；当时，点坐标为，切线方程是：．综上，过点A的曲线S的切线方程是：或．【针对练习2】曲线在点处的切线方程．二、导数的计算函数的求导公式与原来的一些数学公式有类似之处，但是应该注意不要弄混了，一定要准确地记住公式.例3求下列函数的导数：（1）（2）错解:（1）（2）剖析:（1）求导是对自变量的求导，要分清表达式中的自变量.本题的自变量是，是常量.（2）商的求导法则是：分母平方作分母，分子是差的形式，等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分子的积.错解把分数的导数类同于分数的乘方运算了．正解：（1）（2）【针对练习3】求

4、函数的导数．三、导数在研究函数中的应用运用导数可研究可导函数的单调性、极值、最值，其求解步骤可归纳为：⑴确定函数的定义域；⑵求导数；⑶令（或）从而确定函数的单调区间；根据的实根左右两侧的值的符号，从而确定函数的极值；⑷比较函数的极值以及区间端点的函数值，确定最值．解题时要注意：函数的单调性与其导数的正负间的逻辑关系，与函数在取得极值间的逻辑关系；否则易产生错解．例4．已知函数是上的单调增函数，则的取值范围是（）．（A）（B）（C）（D）．错解：，且是上的单调增函数，∴在上恒成立．∴，∴，故选C．剖析：判断函数单调性的方法是：设函数在某个区间内可导

5、，如果在这个区间内，那么为这个区间内的增函数；如果在这个区间内，那么为这个区间内的减函数；这是判断函数单调性的充分不必要条件．上述解法，将其视作充要条件，显然是不妥的．反之，如果在某区间上是递增（或递减）函数，则（或）恒成立．正解：∵，且是上的单调增函数，∴在上恒成立．∴∴．即选D．【针对练习4】已知函数在处取极值10．求、的值．四、生活中的优化问题举例运用导数优化实际问题，主要涉及“用料最省”、“利润最大”、“面积、体积最大”为背景的实际问题，其实质是求函数的最值．而解决最优化问题的两个关键步骤为（1）列关系式，（2）求最值．列函数关系式是一重

6、要步骤，同时不可忽视：①函数定义域；②对参数分类讨论．例5．从边长为的正方体铁片的四个角各截去一小块边长为的正方形（如图1所示），再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，要求长方体的高度与底面正方形的边长的比值不超过常数，容积有最大值时，的取值为___________．错解：由题意知，即又，∴．图1，．，令，得或（舍去）．这时在定义域内有唯一极值点，由问题的实际意义可知时，．故填．剖析：上述解法误认为极值点在定义域内，还有可能在定义域外，可见上述解法忽视对极值点位置的讨论，产生漏解．正解：由错解知令，得或（舍去）．当，即时，同错解．当，即时，

7、，这是有，所以在定义域内为增函数，故当时，．故填或．【针对练习5】周长为的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为　　　　．五、定积分与微积分基本定理1．定积分的定义揭示了计算曲边图形的基本思想——以直代曲，近似代替．定积分几何意义与曲边梯形面间的关系：由三条直线，，一条曲线围成的曲边梯形的面积与：当时，；当时，；这一点易忽视．2．运用微积分基本定理要注意：①奇函数在关于原点对称的闭区间上积分值为0，偶函数在关于原点对称的闭区间上积分是其在半闭区间上积分的2倍．②奇（或偶）函数和直线以及所围成平面图形的面积．例6．如图2，函数在区间上，

8、则阴影部分的面积S为（）（A）（B）－（C）――（D）―+图2错解：选择答案：A或B或C．剖析：错误的原因在于对微积分的几何意义不理解或