2014高三数学 知识点精析精练24 排列、组合与二项式定理

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1、2014高三数学知识点精析精练24：排列、组合与二项式定理【复习要点】排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中主要考查有附加条件的应用问题.解决这类问题通常有三种途径：(1)以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接解法.在求解排列与组合应用问题时，应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；(2)通过分析确

2、定运用分类计数原理还是分步计数原理；(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；(4)列出式子计算和作答.解排列与组合应用题常用的方法有：直接计算法与间接计算法；分类法与分步法；元素分析法和位置分析法；插空法和捆绑法等八种.经常运用的数学思想是：①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想.【例题】【例1】四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案的总数是_________.解法一：分两步：先将四名优等生分成2，1，1三组，共有C种；而后，对三组学生安排三所学校，即进行全排列，有A3

3、3种.依乘法原理，共有N=C=36(种).解法二：分两步：从每个学校至少有一名学生，每人进一所学校，共有A种；而后，再将剩余的一名学生送到三所学校中的一所学校，有3种.值得注意的是：同在一所学校的两名学生是不考虑进入的前后顺序的.因此，共有N=A·3=36(种).答案：36【例2】有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解：(间接法)：任取三张卡片可以组成不同三位数C·23·A(个)，其中0在百位的有C·

4、22·A(个)，这是不合题意的，故共有不同三位数：C·23·A－C·22·A=432(个).【例1】在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共m+n+1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有()解法一：第一类办法：从OA边上(不包括O)中任取一点与从OB边上(不包括O)中任取两点，可构造一个三角形，有CC个；第二类办法：从OA边上(不包括O)中任取两点与OB边上(不包括O)中任取一点，与O点可构造一个三角形，有CC个；第三类办法：从OA边上(不包括O)任取

5、一点与OB边上(不包括O)中任取一点，与O点可构造一个三角形，有CC个.由加法原理共有N=CC+CC+CC个三角形.解法二：从m+n+1中任取三点共有C个，其中三点均在射线OA(包括O点)，有C个，三点均在射线OB(包括O点)，有C个.所以，个数为N=C－C－C个.答案：C【例2】函数)（1）已知的展开式中的系数为，求常数（2）是否存在的值，使在定义域中取任意值时，恒成立？如存在，求出的值，如不存在，说明理由.解（1）Tr+1=C由解得（2）要使（只需10当时，设（0，（，+）—0+极小值20当时，不

6、成立30当时，不成立故当另解法只需【例1】五人站成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，有多少种站法？解：设原来站在第i个位置的人是（i=1，2，3，4，5）。重新站队时，站在第2个位置的站法有种，其中不符合要求的有：站第3位的种，站第4位的种，但有的站法在考虑的情形时已经减去了，故只应再算（）种，同理，站第5位的应再算[]种。站在第3，4，5位的情形与站在第2位的情形时对等的，故所有符合要求的站法有：=44（种）【例2】一个口袋内装有4个不同的红球，6个不同的白球，若取出一个红球记2分，取出一

7、个白球记1分，从口袋中取5个球，使总分不小于7分的取法有多少种？解：设取个红球，个白球，于是：，其中，因此所求的取法种数是：=186（种）【例3】已知数列，是否存在等差数列，使对一切自然数n都成立？并证明你的结论。解：假设满足要求的等差数列存在，由于所给等式对一切自然数n均成立，故当n=1，2，3时等式成立，从而可解得=1，=2，=3，因此若满足要求的等差数列存在，则必须是=n。.然后再证明当=n时所给等式确实成立即可。答案是肯定的。【例1】若某一等差数列的首项为，其中m是-15除以19的余数，则此数

8、列前多少项的和最大？并求出这个最大值。解：由已知得：。注意到，从而等差数列的通项公式是：，设其前k项之和最大，则，解得k=25或k=26，故此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大，。【例2】已知的展开式的各项系数之和等于展开式中的常数项，求展开式中含的项的二项式系数。解：先求出的常数项是27，从而可得中n=7，对于由二项展开式的通项公式知，含的项是第4项，其二项式系数是35。【例3】求证：能被25整除。解：注意到即可。【排列、组合与二项式定理练习1