定积分的应用(8)

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1、定积分的应用一10、求平面图形的面积（1）   在直角坐标系下计算面积   若平面图形是由连续曲线  与直线，围成，则图形的面积为特别地①当。     图？                          ②当     图？                    ③当    图？                       ④设曲线，其中，，  严格单调， 且，，则曲线及轴所围 成的曲边梯形的 面积为   同理若平面图形由连续曲线围成，则图形的面积为注：此公式可直接由上述公式得出（将对调）⑤在极坐标下计算面积 

2、如图，围成 则面积       图？特别地：当 时，    图？11、求平面曲线的弧长 设曲线则弧长特别地：（1），则 （2），则12、求空间物体的体积（1）已知平行截面面积的立体体积                    （2）   旋转体体积 （柱壳法公式）   图？ （柱壳法公式）   图？（3）   求旋转体的侧面积由边梯形， 绕轴旋转一周所生成旋转体的侧面积  图？（4）   求变力沿直线作功物体在变力的作用下，由点沿直线运动到点，则所作的功为注：要求功，只需将变力求出，然后代入积分式即可。（5）   

3、求水的侧压力设平板铅直放置在水中（如图），水的密度为9，则平板一侧所受的压力为：      图？（6）    求细棒对质点的引力基础知识：质量分别为的两质点之间的引力为              ，其中为两质点之间的距离，为引力系数。常见题型和解题思路　定积分在几何和物理上都有应用，在几何上主要用于求平面形的面积，　平面曲线弧长，和空间几何体的体积；在物上用于求变力沿直线作功，　水的侧压力和细棒对质点的引力，用的方法是公式法（6-10，6-11，6-12，　6-13，6-14，6-15）和微元法公式中的公式是由微

4、元法推导出来的，　用起来很方便，但有时会到有些题不能代公式，这时就只能用微元法　来求解，因此，两种方法都要掌握。　微元法以及其解题步骤　微元法若所求量满足条件：其值与变量和其变化区间以及定义在该区间上的某一函数有关；　其值在上具有加性，则的值可用定积分来表示。　  在的任一子区间上建立所求量的微分与 一函数及　  自变量的微分之间的关系为，中表示的微元，　  是所求量的局部表达式，则，我们称这种　  通过微元导致问题解题的方法称为微元法。　微元法的解题步骤：　●   把不容易计算的所求量按某种适当的方式，微分成一

5、小块一小块的　  容易计算的微量。●   建立坐标系，并创建一个区间函数（即对任一区间　   ，存在惟一的一个实数与之对应），P5最后少一行　计算标准微分区间上的微值。　体要求是：找一个，使得用代替的相对误差为0，即当。　 。　等号1成立的原因是具有可加性；等号2成立是因为求和不增加相对误差。　注意：利用微元法解题时，关于是（微分方法）和（要用一个几何　和物理的基础知识，在下面不同的题型中都会强调这两点。　-8常见题型（1）求平面图形的面积。　公式法：见6-10　微元法：　在直角坐标系下：将分成一个一个的窄条后，

6、用矩形代替，基础知识　是“矩形面积=长×宽”。　在极坐标系下：将分成一个一个的小扇形，然后用圆扇形代替，基础　知识是“圆扇形面积”。　（2）求平面曲线的弧长。　公式法：见6-11中公式，（见例6-13）　微元法：将曲线分成一个一个的小段，然后用直线段代替，基础知识是：           “勾股定理”。　求空间物体的体积V 　公式法：见6-12中公式（见例6-14）。　微元法：　①   切片法：用平行的平面将切成一个一个的薄片，然后用柱体代替，基础知识“柱体体积=底面积×高”。　②   薄柱壳法：只限于旋转体（见

7、例6-14解法2）。　           求旋转体的侧面积。　  公式法：见6-13中公式。　  微元法：用垂直于旋转轴的平面将旋转曲面切成一个一个的窄条，然后用圆柱面来代替，基础知识“圆柱侧面积=2×底面半径×圆柱体高”。　(3)求功。　公式法：见6-14中公式。　微元法：　①   将位移微分。因为位移很小，所以变力可用常力代替。　：微功=宏力×微位移，即。例如变力沿直线做功问题。　②   将力微分。将物体按位移的不同，分成不同的小块，　：微功=微力×宏位移，即。例如从容器吸水做功的问题就是用此　法。（见例6

8、-15） (4)求水的侧压力。　求法：见6-15中公式　    受压面积按深度分成一个一个的窄条，因为窄条，所以用不变压强代替变　    动的压强。基础知识“压力=压强×受压面积，体压强=液体比重×深度，　    比重=密度×重力加速度”。　 (5)求细棒对质点的引力。　微元法：将细棒分成一个一个的小段，将小段看作质点，基础知识“万有引力公式，为引力系数，为质点的质量，为