定积分及其应用(8)

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1、文科微积分学习指导（5）第五章定积分及其应用第一部分重点、难点及分析一、定积分的定义及几何意义：由定积分的定义，=一个函数的定积分是由“和式的极限”来定义的，许多现实问题都归结于求和式极限问题，如：不规则图形的面积、变力作功、变速直线运动的距离，都可通过定积分的计算找到答案。因此定积分的概念来源于实际，是解决实际问题的有力“工具”。定积分的概念由四个步骤构成：分割、近似代替、求和、取极限。求和得到了近似的结果，而取极限改善了近似程度，极限值给出了所要测度的量的精确定义。应该说，定积分是一种特殊的“和式极限”，它比数列、函数的极限要复杂一些，在它的定义中，没有简单地写成以n或λ为自变量。

2、定积分的值与积分区间[a，b]和被积函数f有关，而与积分变量用哪一个字母来表示无关，也就是说在中将x改写成u或t得到的结果是一样的。在f（x）>0时，的数值，在几何上等于曲线f（x），x=a，x=b和x轴所围成的曲边梯形的面积。在一般情况下，表示曲线f（x），直线x=a，x=b和x轴之间各部分面积的代数和。其中，在x轴上方的面积取正号，在x17文科微积分学习指导（5）轴下方的面积取负号。定积分的存在性，要满足两个任意性：一是对区间[a，b]的任意划分，可以是等距离的，也可以是非等距离的；另一个是在小区间上任意取一点，可以在区间端点上取，也可以在区间内取。在“微分学”中知道函数的连续性不

3、能保证可导性，连续性是可导的必要条件，但不是充分条件。而连续函数的定积分一定存在，这是定积分存在的充分条件，而不是必要条件，也就是说对不连续的函数，定积分也可能存在。事实上，在区间[a，b]上若有有限个间断点，而有界的函数f（x）在这个区间上的定积分是存在的。一、定积分的性质：1）运算性质：2）区间性质：♥♥若f（x）在[a，b]上可积，则在[a，b]上的部分区间上也是可积的。3）不等式性质：♥若f(x)，g（x）在[a,b]上可积，且f(x)g（x），那么♥若f(x)在[a,b]上可积，，则17文科微积分学习指导（5）4)积分中值性质：一、定积分的计算：重要的公式：计算定积分也可以象

4、计算不定积分时使用换元法，在用第二换元法时，一是，要注意引进的新变量应是单值、单调、连续的函数，且要有连续的导数。二是进行变量代换要换积分限。如：计算定积分时，常用的几个结论：1）当被积函数f（x）是奇函数时，。2）当被积函数f（x）是奇函数时，3）若f（x）是以T为周期的连续函数，二、定积分的应用：在几何中的应用：求平面图形的面积、求旋转体的体积；在物理方面的应用：变力作功。第二部分书后习题1)①17文科微积分学习指导（5）2）②④⑥3）②4）②④17文科微积分学习指导（5）⑥⑧⑩5)②④6）①17文科微积分学习指导（5）②7）①所围面积：②所围图形有两个交点：；两个交点：（2，－2

5、）、（8，4）8）①球的方程是：17文科微积分学习指导（5）②第三部分附加习题1）求定积分：①②③,令当x=0时,t=1,当时,t=0=17文科微积分学习指导（5）④原积分化为：2)设f（x）在[0，1]上连续并单减，试证：对任何ξ∈（0，1）有因为f（x）在[0，1]上单减，所以故即3）设f（x）∈[0，1]，且求。17文科微积分学习指导（5）=。4）求。该积分的被积函数非负，积分上限大于下限，该积分值为积分区间上曲边梯形的面积，由于，积分值应为圆的面积的四分之一，于是积分值是。5）设非负二阶可导函数f（x）在[0，+∞]内,设其中由因此6)计算：17文科微积分学习指导（5）7）计算

6、：，f（t）是连续函数令，=而，所以，。8）设f（t）连续，9）设求x。先计算：所以，17文科微积分学习指导（5）由此可得，x=ln4。10）求极限：①②③11）若当。，请注意：所以，F(x)是常数。。17文科微积分学习指导（5）12）设，其中f（x）是一个在x=0处连续的已知函数，如果在x=0处连续，求c。由即c=。13)已知,求f(x).令即,对等式两边关于x求导,另写成方程:两边求积分:.14)设17文科微积分学习指导（5）第四部分英语参考资料FundamentaltheoremofcalculusAsoundapproachtointegrationdefinedtheinte

7、gralasthelimit,inacertainsenseofasum.Thatthiscanbeevaluated,whenfiscontinuous,byfindinganantiderivativeoff,istheresultembodiedintheso-calledFundamentalTheoremofCalculus.Itestablishesthatintegrationisthereverseprocesstodiffer