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1、4.8.4定积分的近似计算4.8.3定积分的物理应用§4.84.8.1微元法4.8.2定积分的几何应用机动目录上页下页返回结束定积分的应用第4章4.8.1微元法1)所求量Q一般是某区间[a,b]上的非均匀连续变化具有可2)Q(x)在微小的区间[x,x+dx]上的增量即3）机动目录上页下页返回结束微元法也称为元素法，它是用来将实际问题转化为定积分问题的一种简便、有效的方法。技术等学科普遍采用。因此，常被物理学、力学与工程加性的量，且是未知的，即由此可知，第三节目录上页下页返回结束所谓“微元法”，就是寻求所求量的
2、微分，对此量在相应所谓“微元”，就是所求量的微分，的区间上求积分以解决实际问题的方法。具体的做法是：1.根据实际问题选取积分变量(x)，并确定其变化范围2.任取及微线段确定所求量Q在该微线3.计算定积分：段上的微元（其几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳等）其表示式为：4.8.2定积分的几何应用1.直角坐标情形设曲线与直线及x轴所围曲则机动目录上页下页返回结束边梯形面积为A,右下图所示图形面积为：一、平面图形的面积例1.计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积.解:由得交点机动目录上页下页返回结束例2
3、.计算抛物线与直线的面积.解:由得交点所围图形为简便计算,选取y作积分变量,则有机动目录上页下页返回结束例3.求椭圆解:利用对称性,所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当a=b时得圆面积公式机动目录上页下页返回结束一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值则曲边梯形面积机动目录上页下页返回结束例4.求由摆线的一拱与x轴所围平面图形的面积.解:机动目录上页下页返回结束2.极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的
4、近似值为所求曲边扇形的面积为机动目录上页下页返回结束对应从0变例5.计算阿基米德螺线解:点击图片任意处播放开始或暂停机动目录上页下页返回结束到2所围图形面积.例6.计算心形线所围图形的面积.解:(利用对称性)心形线目录上页下页返回结束心形线(外摆线的一种)即点击图中任意点动画开始或暂停尖点:面积:弧长:参数的几何意义例7.计算心形线与圆所围图形的面积.解:利用对称性,所求面积机动目录上页下页返回结束例8.求双纽线所围图形面积.解:利用对称性,则所求面积为思考:用定积分表示该双纽线与圆所围公共部分的面积.机
5、动目录上页下页返回结束答案:二、平面曲线的弧长定义:若在弧AB上任意作内接折线,当折线段的最大边长→0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧AB的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)机动目录上页下页返回结束则称(1)曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长(P168)机动目录上页下页返回结束(2)曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长机动目录上页下页返回结束(3)曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得弧长元素(弧微分):
6、(自己验证)机动目录上页下页返回结束例9.两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量,成悬链线.求这一段弧长.解:机动目录上页下页返回结束下垂悬链线方程为例10.求连续曲线段解:的弧长.机动目录上页下页返回结束例11.计算摆线一拱的弧长.解:机动目录上页下页返回结束例12.求阿基米德螺线相应于0≤≤2一段的弧长.解:(P349公式39)小结目录上页下页返回结束三、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为机动目录上页下页返回结束上连续,
7、特别,当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有机动目录上页下页返回结束例13.计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:方法1利用直角坐标方程则(利用对称性)机动目录上页下页返回结束方法2利用椭圆参数方程则特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积机动目录上页下页返回结束例14.计算摆线的一拱与y＝0所围成的图形分别绕x轴,y轴旋转而成的立体体积.解:绕x轴旋转而成的体积为利用对称性机动目录上页下页返回结束绕y轴旋转而成的体积为注意上下限!注
8、注目录上页下页返回结束分部积分注(利用“偶倍奇零”)柱壳体积说明:柱面面积机动目录上页下页返回结束偶函数奇函数机动目录上页下页返回结束例15.设在x≥0时为连续的非负函数,且形绕直线x＝t旋转一周所成旋转体体积,证明:证:利用柱壳法则机动目录上页下页返回结束故例16.一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,解:如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x轴的截面是直角三角形,其面积为利用对
