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1、(定积分的应用)第二节定积分在几何学上的应用一.平面图形的面积1直角坐标情形xyy=f(x)A1A2A3bdA2ac(1)当f(x)>0时,以f(x)为曲边的曲边梯形面积(2)结合考虑f(x)<0的情形,则有(3)若在区间[a,b]上,f(x)变号,我们`有f2(x)f1(x)abxyxdx(4)若在区间[a,b]上,平面图形由y=f1(x)f2(x),及x=a,x=b围成的,则(5)对于任意曲线所围成的图形,可用直线将它们分割几个部分,再用上述的方法计算.例1抛物线y2=2x将圆y2=4x-x2分割成三部分,求每一部分的面积。xydxA1A2A3y2=2xxyA2
2、A3y2=2x2-2dyA1解法2例2计算抛物线y+1=x2,与直线y=x+1所围区域的面积.xyy1=x2-1y2=1+x23-1分析:先求两条线段的交点.x+1=x2-1x2-x-2=0→(x-2)(x+1)=0.x1=2,y1=3.x2=-1,y2=0.(2)划分微元的方法有两个.一是垂直的小条.上端为y2=1+x,下端为y1=x2-1.典型的垂直小条的面积为dA=(y2-y1)dxxyy1=x2-1y2=1+x23-1划分的第二种方法是横向条.分成两部分处理. 1是y从-1到0,2是y从0到3.对于由两曲线围成的平面图形,求其面积的主要步骤是作草图,求出两
3、曲线的交点,选择积分变量并选用相应的积分公式,确定积分上下限并计算积分.为了减少计算量,应该尽量利用对称性和积分的几何意义.例如本例中的A1=A2,如果平面曲线由参数方程表示例2求椭圆的面积,椭圆方程为：0xx+dxxdA1分析:将椭圆方程写成参数式则可证明以(3)为曲边梯形的面积参数式情形3.极坐标情形r(θ)r=r(θ)θdθ首先，用元素法推出由曲线及射线r=r(θ);θ=α,θ=β围成的曲边扇形面积的计算公式,其中r(θ)在[a,b]上连续,且r(θ)>0,在小区间[θ,θ+dθ]上的窄圆扇形的面积为例3计算心形线r=a(1+cosθ)(a>0)所围成图形的面
4、积r2axyθ二.体积侧面积1.旋转体的体积旋转体是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体,这条直线叫做旋转轴。xyy=f(x)xx+dxyOxhrx+dxy例5连接坐标原点O及点P(h,r)的直线x=h及x轴围成一个直角三角形把它绕x轴旋转一周构成一个底半径为r,高为h的圆锥体,计算这圆锥体的体积.解:过原点O及点P(h,r)的直线方程为y=rx/h.取横坐标x为积分变量,它的变化区间为[0,h].圆锥体中任一小区间[x,x+dx]的薄片的体积近似于底半径为rx/h,高为dx的扁圆柱体的体积.dv=π[rx/h]2dx于是所求圆锥体的体积为：2.平行截
5、面面积为已知的立体的体积从计算旋转体体积的过程中可看出:如果一个立体不是旋转体,但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积,那么,这立体的体积也可用定积分来计算.xabx+dxabx+dxx取上述定轴为x轴,设该立体在过点x=a,x=b且垂直于x轴的两个平面之间.以A(x)表示过点x且垂直于x轴的截面面积,假定A(x)为x的已知的连续函数,取x为积分变量,它的变化区间为[a,b];立体中相应于[a,b]上任一小区间[x,x+dx]的一薄片的体积,近似于底面积为A(x),高为dx的扁柱体的体积,即dV=A(x)dx.则立体的体积为例4求椭圆柱面xyzo分析:立体显然
6、关于xoz平面是对称的其y≥0部分如图示.考虑垂直y轴的截面,则截面是一直角三角形.其两条直角边分别是和所以其面积为所围成的立体的体积与平面yzo如果用垂直于x轴的截面得到一其面积矩形,边长分别为z=cx/a,yx2+y2=R2-RRxαα例5一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角α.计算这平面截圆柱体所得立体的体积.解:底圆的方程为x2+y2=R2,立体中过x轴上的点x且垂直于x轴的截面是一个直角三角形它的两条直角边分别是y及ytanα;xy它的截面积为A(x)=(R2-x2)tgα/2于是它的体积是3旋转体的侧面积xxx+dxyyy=f(x)设平面
7、光滑曲线y=f(x)(a
