定积分的 应用.ppt

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1、第四节定积分的应用第一部分定积分的微元法一、问题的提出二、微素法的一般步骤：回顾曲边梯形求面积的问题abxyo一、问题的提出面积表示为定积分的步骤如下(3)求和，得A的近似值abxyo二、微元法的一般步骤：应用方面平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．第二部分平面图形的面积一、直角坐标系情形二、极坐标系情形曲边梯形的面积曲边梯形的面积一、直角坐标系情形解两曲线的交点面积元素选x为积分变量解两曲线的交点如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．面积元素曲边扇形的面积二、极坐标系情形解由对称性知总面积

2、=4倍第一象限部分面积解利用对称性知第三部分体积二、旋转体的体积一、平行截面面积为已知的立体的体积一、平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积解取坐标系如图所示底圆方程为截面面积立体体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台二、旋转体的体积xyo旋转体的体积为解直线方程为例2计算由椭圆所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积。解该旋转椭球体可以看作是由和x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立

3、体.解三、平面曲线的弧长定义:若在弧AB上任意作内接折线,当折线段的最大边长→0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧AB的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)则称(1)曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长(2)曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长四、定积分在医药学上的应用P125例13P126例14、15(3)曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得弧长元素(弧微分):(自己验证)例1.求连续曲线段解:的弧长.例15.计算摆线一拱的弧长.解:例16.求阿基米德螺线相应于0≤≤2一段的

4、弧长.解:(P349公式39)内容小结1.平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2.平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程弧微分:直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意:求弧长时积分上下限必须上大下小3.已知平行截面面面积函数的立体体积旋转体的体积绕x轴:绕y轴: