欢迎来到天天文库
浏览记录
ID:29721220
大小:98.01 KB
页数:5页
时间:2018-12-22
《定积分的应用(8)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、定积分的应用一10、求平面图形的面积(1) 在直角坐标系下计算面积 若平面图形是由连续曲线 与直线,围成,则图形的面积为特别地①当。 图? ②当 图? ③当 图? ④设曲线,其中,, 严格单调, 且,,则曲线及轴所围 成的曲边梯形的 面积为 同理若平面图形由连续曲线围成,则图形的面积为注:此公式可直接由上述公式得出(将对调)⑤在极坐标下计算面积
2、如图,围成 则面积 图?特别地:当 时, 图?11、求平面曲线的弧长 设曲线则弧长特别地:(1),则 (2),则12、求空间物体的体积(1)已知平行截面面积的立体体积 (2) 旋转体体积 (柱壳法公式) 图? (柱壳法公式) 图?(3) 求旋转体的侧面积由边梯形, 绕轴旋转一周所生成旋转体的侧面积 图?(4) 求变力沿直线作功物体在变力的作用下,由点沿直线运动到点,则所作的功为注:要求功,只需将变力求出,然后代入积分式即可。(5)
3、求水的侧压力设平板铅直放置在水中(如图),水的密度为9,则平板一侧所受的压力为: 图?(6) 求细棒对质点的引力基础知识:质量分别为的两质点之间的引力为 ,其中为两质点之间的距离,为引力系数。常见题型和解题思路 定积分在几何和物理上都有应用,在几何上主要用于求平面形的面积, 平面曲线弧长,和空间几何体的体积;在物上用于求变力沿直线作功, 水的侧压力和细棒对质点的引力,用的方法是公式法(6-10,6-11,6-12, 6-13,6-14,6-15)和微元法公式中的公式是由微
4、元法推导出来的, 用起来很方便,但有时会到有些题不能代公式,这时就只能用微元法 来求解,因此,两种方法都要掌握。 微元法以及其解题步骤 微元法若所求量满足条件:其值与变量和其变化区间以及定义在该区间上的某一函数有关; 其值在上具有加性,则的值可用定积分来表示。 在的任一子区间上建立所求量的微分与 一函数及 自变量的微分之间的关系为,中表示的微元, 是所求量的局部表达式,则,我们称这种 通过微元导致问题解题的方法称为微元法。 微元法的解题步骤: ● 把不容易计算的所求量按某种适当的方式,微分成一
5、小块一小块的 容易计算的微量。● 建立坐标系,并创建一个区间函数(即对任一区间 ,存在惟一的一个实数与之对应),P5最后少一行 计算标准微分区间上的微值。 体要求是:找一个,使得用代替的相对误差为0,即当。 。 等号1成立的原因是具有可加性;等号2成立是因为求和不增加相对误差。 注意:利用微元法解题时,关于是(微分方法)和(要用一个几何 和物理的基础知识,在下面不同的题型中都会强调这两点。 -8常见题型(1)求平面图形的面积。 公式法:见6-10 微元法: 在直角坐标系下:将分成一个一个的窄条后,
6、用矩形代替,基础知识 是“矩形面积=长×宽”。 在极坐标系下:将分成一个一个的小扇形,然后用圆扇形代替,基础 知识是“圆扇形面积”。 (2)求平面曲线的弧长。 公式法:见6-11中公式,(见例6-13) 微元法:将曲线分成一个一个的小段,然后用直线段代替,基础知识是: “勾股定理”。 求空间物体的体积V 公式法:见6-12中公式(见例6-14)。 微元法: ① 切片法:用平行的平面将切成一个一个的薄片,然后用柱体代替,基础知识“柱体体积=底面积×高”。 ② 薄柱壳法:只限于旋转体(见
7、例6-14解法2)。 求旋转体的侧面积。 公式法:见6-13中公式。 微元法:用垂直于旋转轴的平面将旋转曲面切成一个一个的窄条,然后用圆柱面来代替,基础知识“圆柱侧面积=2×底面半径×圆柱体高”。 (3)求功。 公式法:见6-14中公式。 微元法: ① 将位移微分。因为位移很小,所以变力可用常力代替。 :微功=宏力×微位移,即。例如变力沿直线做功问题。 ② 将力微分。将物体按位移的不同,分成不同的小块, :微功=微力×宏位移,即。例如从容器吸水做功的问题就是用此 法。(见例6
8、-15) (4)求水的侧压力。 求法:见6-15中公式 受压面积按深度分成一个一个的窄条,因为窄条,所以用不变压强代替变 动的压强。基础知识“压力=压强×受压面积,体压强=液体比重×深度, 比重=密度×重力加速度”。 (5)求细棒对质点的引力。 微元法:将细棒分成一个一个的小段,将小段看作质点,基础知识“万有引力公式,为引力系数,为质点的质量,为
此文档下载收益归作者所有