八年级数学梯形 同步练习2华师版

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1、梯形【学习目标】掌握梯形的概念,探索并了解等腰梯形的有关性质,并会运用分解梯形为平行四边形与三角形的方法解决一些简单的问题.【基础知识概述】1.梯形的有关概念:(1)梯形的定义:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.注意:定义需满足三个条件:①四边形;②一组对边平行;③一组对边不平行.(2)梯形的相关定义:①梯形的底:梯形中平行的两边叫做梯形的底.注意:通常把较短的底叫做上底,较长的底叫做下底,梯形的上下底则是以长短区分的,不是指位置定的.②梯形的腰:梯形中不平行的两边叫做梯形的腰.③梯形的高:梯形两底

2、的距离叫做梯形的高.(3)特殊梯形的定义:①等腰梯形:两腰相等的梯形.②直角梯形:一腰垂直于底的梯形.2.梯形的分类:3.梯形的识别:(1)定义法判定,四边形中①一组对边平行;②另一组对边不平行.(2)有一组对边平行且不相等的四边形是梯形.注意:此识别方法可由梯形定义和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出.4.等腰梯形的特征:(1)等腰梯形两腰相等、两底平行.(2)等腰梯形在同一底上的两个角相等.(3)等腰梯形的对角线相等.(4)等腰梯形是轴对称图形,它只有一条对称轴,底的垂直平分线是它的对称轴.注意:等腰

3、梯形在同一底上的两个角相等,不能说成:(1)等腰梯形两底上的角相等;(2)等腰梯形同一底上的两底角相等.这两种说法都是错误的.5.等腰梯形的识别:(1)两腰相等的梯形是等腰梯形.(2)在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.(3)对角线相等的梯形是等腰梯形.6.等腰梯形特征及识别的作用:可以证明角、线段相等,直线平行及判定四边形为等腰梯形等.7.解决梯形问题的基本思路:.这种思路常通过平移或旋转来实现.8.梯形的面积(如图12-3-1):.【例题精讲】例1已知如图12-3-2,四边形ABCD中,AB=DC,AC=

4、BD,AD≠BC,试说明四边形ABCD是等腰梯形.分析:由条件知只需证明四边形ABCD为梯形,即证AD∥BC,可转证∠BAD+∠ABC=180°.解:∵AB=CD,BC=CB,AC=DB,∴△ABC与△DCB重合,∴∠ABC=∠DCB.同理可证∠BAD=∠CDA.∵∠ABC+∠DCB+∠BAD+∠CDA=360°,∴∠ABC+∠BAD=180°,∴AD∥BC.∵AD≠BC,AB=DC,∴四边形ABCD为等腰梯形.思考:如此题不给AD≠BC这个条件,这还是等腰梯形吗?(提示:不一定,它还可能为矩形)注意:所以证明四

5、边形为梯形时,一定要考虑平行边是否相等(另一对边是否平行).例2如图12-3-3,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=DC,BD⊥CD.求∠C的大小.分析:这是一个等腰梯形.所以∠ABC=∠C.其中又有△ABD是等腰三角形,所以有∠ABD=∠ADB.当平行线与等腰三角形在一起,常常能把角进行迁移,可以推得∠ADB=∠DBC=∠ABD,即∠C=∠ABC=2∠DBC,在Rt△BCD中便可容易地求得∠C=60°.解:因为在梯形ABCD中,AB=DC,所以∠ABC=∠C.又因为AD=AB,则∠ABD=∠ADB.又A

6、D∥BC,所以∠ADB=∠DBC.因此∠C=∠ABC=2∠DBC.在Rt△BCD中,∠C+∠DBC=3∠DBC=90°,则∠DBC=30°,∠C=60°.例3如图12-3-4,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=8,BC=17,∠C=70°,∠B=55°,求DC的长.分析:要求DC的长,设法将DC放到一个三角形内去解决,这个三角形与已知条件AD=8,BC=17,∠C=70°,∠B=55°相联系,可过D作DE∥BA,在△DEC中求出DC.解:过D作DE∥AB交BC于E.∴∠1=∠B=55°.∵∠C=70°,∴∠2=5

7、5°,∴DC=EC=BC—BE.∵AD∥BC,DE∥AB,∴BE=AD=8.∵BC=17,∴DC=17—8=9.说明:作梯形一腰的平行线,把梯形分成一个平行四边形和一个三角形是常用的引辅助线的方法.例4如图12-3-5,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥CD,AB=BC,又AE⊥BC于E,试说明CD=CE.分析:题设中有AB=BC,AE⊥BC,故可联想连结AC,以构造等腰三角形,利用等腰三角形的性质证题.解:连结AC,∵AB=BC,∴∠BAC=∠1.又∵AB∥CD,∵∠BAC=∠2,∴∠1=∠2.又AD⊥C

8、D,AE⊥BC,∴∠D=∠AEC=90°,∴△ADC与△AEC重合,∴CD=CE.例5如图12-3-6,已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD,AD+BC=10,DE⊥BC于E,求DE的长.分析:由等腰梯形知AC=BD,又AC⊥BD,AD+BC=10,如过D作DF∥AC,交BC的延长线于F,则△BDF为等腰直角三角形,BF=BC+AD=2DE.解:过D点作DF∥A

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