八年级数学梯形 同步练习4华师版

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1、梯形(4)【基础知识精讲】1.什么叫梯形一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形.2.与梯形相关的一些概念底：平行的两边叫做底腰：不平行的两边叫做腰高：两底的距离叫做梯形的高3.两种特殊的梯形直角梯形：有一个角是直角的梯形叫直角梯形性质：直角梯形斜腰中点到直角腰的两端距离相等等腰梯形：两腰相等的梯形叫等腰梯形性质：等腰梯形两底角相等，等腰梯形两条对角线相等【重点难点解析】重点：等腰梯形的性质和判定难点：添加辅助线将梯形转化成熟悉的平行四边形、三角形问题来解决例1如图4.9－2，梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC，延长AB到E，使BE＝DC，连结AC、CE，求证：AC＝CE分析本

2、题考查等腰梯形的性质，平行四边形判定与性质.由于等腰梯形对角线相等，证题思路比较明显，那就是连DB.证DB＝CE.证明□DBEC.证明：∵DC∥ABBE＝DC且E在AB的延长线上，即DC∥BE∴四边形DBEC是平行四边形∴CE＝DB又∵AD＝BC∴梯形ABCD是等腰梯形∴AC＝BD∴AC＝CE例2等腰梯形一个底角为150°，腰长为10cm，下底为30cm，求上底的长.分析本题查考知识点为等腰梯形性质，直角三角形性质及勾股定理的应用，通过上底的两个端点作下底的垂线，将等腰梯形转换成直角三角形与矩形，从而求出AD的长度.解：∵AE⊥BCDF⊥BC∴AE∥DC，又AD∥EC且∠AEF＝Rt∠

3、∴ADFE为矩形∴AD＝EF在Rt△ABE中，∠B＝30°，AB＝10cm则AE＝5由勾股定理得：BE＝＝5cm同理FC＝5cm∴EF＝BC－BE－FC＝30－10cm∴AD＝EF＝30－10cm例3如图4.9－4，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝60°∠ABC的平分线交AD于ECE⊥BE，且BE＝2，求CE、DC的长度.分析CE为Rt△BEC的一条直角边，且∠EBC＝∠ABC＝30°，通过特殊的直角三角形性质及勾股定理，求出CE之长，再由直角梯形的性质，将上底转换为直角三角形的边计算.解：∠１＝∠ABC＝30°又CE⊥BE在Rt△BEC中BC＝2EC∴BE2＝BC2－EC2

4、＝4EC2－EC2＝3EC2即：3EC2＝4EC2＝EC＝在Rt△CDE中，∵∠BEA＝60°∠CEB＝90°∴∠CED＝30°DC＝EC＝×＝例4如图4.9－5，已知梯形ABCD，BC是下底，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，且BD⊥CD，若梯形的周长是30cm，求此梯形的面积.分析本题考查Rt△的性质、梯形面积公式，关键是求高与底边和，由于∠DBC＝30°，∠BDC＝90°，则DC＝BC，作出高线通过勾股定理转换到底(腰).解：过D作BC的高线、垂足为E∵AD∥BC∠DBC＝∠DBA＝∠ABC＝30°∴∠ADB＝∠DBC＝∠ABD＝30°∴AB＝AD又∵BD⊥CD∴DC＝BC∠C

5、＝60°＝∠ABC∴梯形ABCD是等腰梯形∴DC＝AB＝AD∴∠CDE＝30°∵DE⊥BC∴EC＝DC由勾股定理得DE＝DC设DC＝x，则AD＝ＡＢ＝DC＝xBC＝2xDE＝x依题意有：x+x+x+2x=30则x＝6故AD＝6cmBC＝12cmDE＝×6＝3cm∴S梯形ABCD＝×(6+12)×3＝27cm2【难题巧解点拨】例1如图4.9－9，梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交DC于E点.求证：AD＝AB－BC分析本题考查等腰三角形性质、三角形全等的判定，依题可得∠1+∠3＝90°，加上∠1＝∠2，可考虑证等腰三角形，看能否将底集中在一起，延

6、长AE、BC就可达到目的，这里要注意辅助线不能作为既延长两线交于一点又使CF＝AD，同时三线合一的逆用需要证明.证明：延长AE交BC的延长线于F∵AD∥BC∴∠4＝∠F∴∠DAB+∠CBA＝180°又∵∠3＝∠DAB∠1＝∠CBA∴∠1+∠3＝90°∴AE⊥BE又∵∠1＝∠2BE公共∴△ABE≌△FBE∴AB＝BF＝BC+CF＝BC+AD∴AE＝EF在△AED和△EFC中∵AE＝EF∠4＝∠F∠DEA＝∠FEC∴△AED≌△FEC∴AD＝CF∴AD＝AB－BC例2如图4.9－10，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点P为BC边上一点，PE⊥AB，PF⊥CD，BG⊥CD，垂足

7、分别为E、F、G.求证：PE+PF＝BG分析这是一题考查学生综合解题能力的考题.一般要证两线段和等于一条线段的长，可以把长线段截成两段，再分别证明线段相等，或者把短线段延长成线段和再证两线段长的和等于长线段的长.本题宜采用前面的方法.证明：作PM⊥BG∵BG⊥DC，PF⊥DC∴MPFG是矩形∴MG＝PF在Rt△EBP和Rt△MPB中∴△EBP≌△MPB∴MB＝PE∴BG＝BM+MG∴BG＝PE+PF【课本难题解答】例1如图4.9－11，已知等腰