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时间:2018-12-16
《2018版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的简单几何性质(1)学案 新人教a版选修2-1》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程,并利用曲线的方程研究它的性质、图形.知识点一 椭圆的范围、对称性和顶点坐标思考1 观察椭圆+=1(a>b>0)的形状(如图),你能从图中看出它的范围吗?它具有怎样的对称性?椭圆上哪些点比较特殊?答案 (1)范围:-a≤x≤a,-b≤y≤b;(2)对称性:椭圆关于x轴、y轴、原点都对称;(3)特殊点:顶点A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b).思考2 在画椭圆图形时,怎样才能画的更准确些?答案 在画椭圆时,可先画一个矩形,矩形的顶点
2、为(-a,b),(a,b),(-a,-b),(a,-b).梳理 椭圆的简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程+=1(a>b>0)+=1(a>b>0)图形焦点坐标(±c,0)(0,±c)对称性关于x轴、y轴轴对称,关于坐标原点中心对称顶点坐标A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)范围
3、x
4、≤a,
5、y
6、≤b
7、x
8、≤b,
9、y
10、≤a长轴、短轴长轴A1A2长为2a,短轴B1B2长为2b知识点二 椭圆的离心率思考 如何刻画椭圆的扁圆程度?答案 用离心率刻画扁圆程度,e越接近于0,椭圆越接近于圆,反之,越扁
11、.梳理 (1)椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.(2)对于+=1,b越小,对应的椭圆越扁,反之,e越接近于0,c就越接近于0,从而b越接近于a,这时椭圆越接近于圆,于是,当且仅当a=b时,c=0,两焦点重合,图形变成圆,方程变为x2+y2=a2.(如图)类型一 由椭圆方程研究其简单几何性质例1 求椭圆9x2+16y2=144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.解 已知方程化成标准方程为+=1,于是a=4,b=3,c==,∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a=8和2b=6,离心率e==,又知焦点在x轴上,∴两个焦点坐标分别是(-,0)和(,0),四个顶点坐标分别是(-4,0),(4,0
12、),(0,-3)和(0,3).引申探究本例中若把椭圆方程改为“9x2+16y2=1”求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.解 由已知得椭圆标准方程为+=1,于是a=,b=,c==.∴长轴长2a=,短轴长2b=,离心率e==.焦点坐标(-,0)和(,0),顶点坐标(±,0),(0,±).反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式,然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上,再利用a,b,c之间的关系和定义,求椭圆的基本量.跟踪训练1 求椭圆9x2+y2=81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.解 椭圆的标准方程为+=1,则a=9,b=3,c==6,长轴长2a=18
13、;短轴长2b=6;焦点坐标(0,6),(0,-6);顶点坐标(0,9),(0,-9),(3,0),(-3,0).离心率e==.类型二 椭圆的几何性质简单应用命题角度1 依据椭圆的几何性质求标准方程例2 如图所示,已知椭圆的中心在原点,它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1,B2的连线互相垂直,且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为-,求这个椭圆的方程.解 依题意,设椭圆的方程为+=1(a>b>0),由椭圆的对称性知
14、B1F
15、=
16、B2F
17、,又B1F⊥B2F,∴△B1FB2为等腰直角三角形,∴
18、OB2
19、=
20、OF
21、,即b=c,
22、FA
23、=-,即a-c=-,且a2=b2+c2,将上面三式联立,得解得
24、∴所求椭圆方程为+=1.反思与感悟 此类问题应由所给的几何性质充分找出a,b,c所应满足的关系式,进而求出a,b,在求解时,需注意椭圆的焦点位置.跟踪训练2 根据下列条件,求中心在原点,对称轴在坐标轴上的椭圆方程:(1)长轴长是短轴长的2倍,且过点(2,-6);(2)焦点在x轴上,一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直,且半焦距为6.解 (1)当焦点在x轴上时,设椭圆方程为+=1(a>b>0).依题意有解得∴椭圆方程为+=1.同样地可求出当焦点在y轴上时,椭圆方程为+=1.故所求的椭圆方程为+=1或+=1.(2)依题意有∴b=c=6,∴a2=b2+c2=72,∴所求的椭圆方程为+=1.命题角度2
25、 对称性问题例3 讨论方程x3y+x2y2+xy3=1所表示的曲线关于x轴,y轴,原点的对称性.解 用“-y”代替方程x3y+x2y2+xy3=1中的“y”,得-x3y+x2y2-xy3=1,它改变了原方程,因此方程x3y+x2y2+xy3=1所表示的曲线不关于x轴对称.同理,方程x3y+x2y2+xy3=1所表示的曲线也不关于y轴对称.而用“-x”代替原方程中的“x”,用“-y”代替原方程中的“y”,得(-
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