2018版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的简单几何性质（2）学案 新人教a版选修2-1

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1、2.2.2　椭圆的简单几何性质(二)学习目标　1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识.知识点一　点与椭圆的位置关系思考1　判断点P(1，2)与椭圆＋y2＝1的位置关系.答案　当x＝1时，得y2＝，故y＝±，而2>，故点在椭圆外.思考2　类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判定吗？答案　当P在椭圆外时，＋>1；当P在椭圆上时，＋＝1；当P在椭圆内时，＋<1.梳理　设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：位置关系满足条件P在

2、椭圆外＋>1P在椭圆上＋＝1P在椭圆内＋<1知识点二　直线与椭圆的位置关系思考1　直线与椭圆有几种位置关系？答案　有三种位置关系，分别有相交、相切、相离.思考2　如何判断y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系？答案　联立消去y得关于x的一元二次方程位置关系解的个数Δ的取值相交两解Δ>0相切一解Δ＝0相离无解Δ<0梳理　(1)判断直线和椭圆位置关系的方法将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程.若Δ>0，则直线和椭圆相交；若Δ＝0，则直线和椭圆相切；若Δ<0，则直线和椭圆相离.(2)根与系数的关系及弦长公式设直线

3、l：y＝kx＋m(k≠0，m为常数)与椭圆＋＝1(a>b>0)相交，两个交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则线段AB叫做直线l截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫做弦长.下面我们推导弦长公式：由两点间的距离公式，得

4、AB

5、＝，将y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m代入上式，得

6、AB

7、＝＝＝

8、x1－x2

9、，而

10、x1－x2

11、＝，所以

12、AB

13、＝·，其中x1＋x2与x1x2均可由根与系数的关系得到.(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用Δ>0.例如，直线l：y＝k(x－2)＋1和椭圆＋＝1.无论k取何值，直线l恒过定点(

14、2，1)，而定点(2，1)在椭圆内部，所以直线l必与椭圆相交.类型一　点、直线与椭圆位置关系的判断命题角度1　点与椭圆位置关系的判断例1　已知点P(k，1)，椭圆＋＝1，点在椭圆外，则实数k的取值范围为________.答案　(－∞，－)∪(，＋∞)解析　据题知＋>1，解得k<－或k>.引申探究若将本例中P点坐标改为“P(1，k)”呢？答案　(－∞，－)∪(，＋∞)解析　依题＋>1，解得k2>，即k<－或k>.反思与感悟　处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性.跟踪训练1　已知点(3，2)在

15、椭圆＋＝1(a>b>0)上，则(　　)A.点(－3，－2)不在椭圆上B.点(3，－2)不在椭圆上C.点(－3，2)在椭圆上D.以上都不正确答案　C解析　由已知得＋＝1，只有选项C符合该条件.命题角度2　直线与椭圆位置关系的判断例2　(1)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　)A.相交B.相切C.相离D.不确定答案　A解析　直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1，1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交.(2)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围.解

16、　由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1.整理得x2＋2kx＋1＝0.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，解得k<－或k>.即k的取值范围为∪.反思与感悟　直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法)联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点.(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点.(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点.跟踪训练2　(1)已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：＋＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为(　　)A.1B.

17、1或2C.2D.0(2)若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是(　　)A.B.－C.±D.±答案　(1)C　(2)C解析　(1)因为直线过定点(3，－1)且＋<1，所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点.(2)把y＝kx＋2代入＋＝1得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，由于Δ＝0，∴k2＝，∴k＝±.类型二　弦长及中点问题例3　已知椭圆＋＝1的弦AB的中点M的坐标为(2，1)，求直线AB的方程.解　方法一　根与系数的关系、中点坐标公式法由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y－1＝k(x－2)

18、.将其代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则