2018版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的简单几何性质（1）学案 新人教a版选修2-1

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1、2.2.2　椭圆的简单几何性质(一)学习目标　1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形.知识点一　椭圆的范围、对称性和顶点坐标思考1　观察椭圆＋＝1(a>b>0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？答案　(1)范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；(2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b).思考2　在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？答案　在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点

2、为(－a，b)，(a，b)，(－a，－b)，(a，－b).梳理　椭圆的简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形焦点坐标(±c，0)(0，±c)对称性关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称顶点坐标A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)范围

3、x

4、≤a，

5、y

6、≤b

7、x

8、≤b，

9、y

10、≤a长轴、短轴长轴A1A2长为2a，短轴B1B2长为2b知识点二　椭圆的离心率思考　如何刻画椭圆的扁圆程度？答案　用离心率刻画扁圆程度，e越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁

11、.梳理　(1)椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.(2)对于＋＝1，b越小，对应的椭圆越扁，反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a＝b时，c＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x2＋y2＝a2.(如图)类型一　由椭圆方程研究其简单几何性质例1　求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.解　已知方程化成标准方程为＋＝1，于是a＝4，b＝3，c＝＝，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝＝，又知焦点在x轴上，∴两个焦点坐标分别是(－，0)和(，0)，四个顶点坐标分别是(－4，0)，(4，0

12、)，(0，－3)和(0，3).引申探究本例中若把椭圆方程改为“9x2＋16y2＝1”求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.解　由已知得椭圆标准方程为＋＝1，于是a＝，b＝，c＝＝.∴长轴长2a＝，短轴长2b＝，离心率e＝＝.焦点坐标(－，0)和(，0)，顶点坐标(±，0)，(0，±).反思与感悟　解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量.跟踪训练1　求椭圆9x2＋y2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.解　椭圆的标准方程为＋＝1，则a＝9，b＝3，c＝＝6，长轴长2a＝18

13、;短轴长2b＝6；焦点坐标(0，6)，(0，－6)；顶点坐标(0，9)，(0，－9)，(3，0)，(－3，0).离心率e＝＝.类型二　椭圆的几何性质简单应用命题角度1　依据椭圆的几何性质求标准方程例2　如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为－，求这个椭圆的方程.解　依题意，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，由椭圆的对称性知

14、B1F

15、＝

16、B2F

17、，又B1F⊥B2F，∴△B1FB2为等腰直角三角形，∴

18、OB2

19、＝

20、OF

21、，即b＝c，

22、FA

23、＝－，即a－c＝－，且a2＝b2＋c2，将上面三式联立，得解得

24、∴所求椭圆方程为＋＝1.反思与感悟　此类问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而求出a，b，在求解时，需注意椭圆的焦点位置.跟踪训练2　根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.解　(1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0).依题意有解得∴椭圆方程为＋＝1.同样地可求出当焦点在y轴上时，椭圆方程为＋＝1.故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.(2)依题意有∴b＝c＝6，∴a2＝b2＋c2＝72，∴所求的椭圆方程为＋＝1.命题角度2

25、　对称性问题例3　讨论方程x3y＋x2y2＋xy3＝1所表示的曲线关于x轴，y轴，原点的对称性.解　用“－y”代替方程x3y＋x2y2＋xy3＝1中的“y”，得－x3y＋x2y2－xy3＝1，它改变了原方程，因此方程x3y＋x2y2＋xy3＝1所表示的曲线不关于x轴对称.同理，方程x3y＋x2y2＋xy3＝1所表示的曲线也不关于y轴对称.而用“－x”代替原方程中的“x”，用“－y”代替原方程中的“y”，得(－