一道高考题的妙证 结论及应用

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1、一道高考题的妙证结论及应用：高考试题是命题专家智慧的结晶，具有强大的生命力，具有明显的导向、示范及辐射作用。对高考试题的研究，有利于挖掘其内涵、揭示其本质、总结其规律、提升其价值、拓展其功能。　　关键词：几何；对称；规律；应用。　　：G633.6：A：1002-7661（2011）12-052-02　　　　　　2008年高考福建省(文科)第22题（压轴题）:如图（1）,椭圆C：的一个焦点为F（1，0），且过点（2，0）.　　①求椭圆C的方程；　　②若AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x=4与x轴相交于N，直线AF与BN交于点M.　　③求证:

2、点M恒在椭圆C上;　　④求面积的最大值.　　分析：(Ⅰ)易得椭圆C的方程为.　　②③高考命题专家已经给出了两种很好的解法，但我我个人认为：圆锥曲线是一类美丽而实用的曲线，美就美在其具有和谐、对称（无论从作图，推理、证明过程还是结论），而实用就在于它具有丰富的内含，但圆锥曲线的综合题往往是运算或证明繁琐！于是，我们努力寻找最简洁的方法，探索圆锥曲线内在的、本质的规律.　　连接AN，设直线AQ与BF的交点为N,这样图就具有对称性，分别过M、B作l：x=4（准线）的垂线，垂足分别为,　　则　　，故M恒在椭圆上　　　　　　　　这种证法简洁，处呈现

3、对称，更为重要的是得到一般的规律：　　为了后面叙述方便，我们规定：点F和直线l为其相应的焦点和准线，Q为准线和长轴（椭圆）(或实轴（双曲线）对称轴(抛物线))的交点.　　结论1：如图1，AB为垂直于椭圆长轴上的动弦，则直线AF与BQ（或直线BF与AQ）的交点M必在该椭圆上.　　事实上，刚才上述的证明过程与e的大小无关，于是得到:　　结论2：如图2，AB为垂直于双曲线实轴的动弦，则直线AF与BQ（直线BF与AQ）的交点M也恒在该双曲线上.　　结论3：如图3，AB为垂直于抛物线对称轴的动弦，则直线AF与BQ（直线BF与AQ）的交点M也恒在该抛

4、物线上.　　于是得到更一般的规律：　　结论4：AB为垂直于圆锥曲线的长轴（椭圆）（或实轴（双曲线）或对称轴（抛物线））的动弦，则直线AF与BQ（直线BF与AQ）的交点M也恒在该圆锥曲线上.　　由上述的证明过程以及图1、图2、图3可以明显看出:　　结论5：圆锥曲线的焦点弦AM（不为通径,若双曲线则为单支弦），则在x轴上有且只有一点Q使.事实上,由图1的对称性可得即.　　这样正好解决了2011年厦门市高考模拟题：　　设p是以为焦点的双曲线上的一点，已知的面积为，且.　　①求双曲线C的方程；　　②过点任作直线l交双曲线的右支于不同的两点M、N，

5、问在x轴上是否存在一点Q（与不重合），使得对任意直线l都有.若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理由.　　由椭圆的对称性，继续观察图1，分别过A、N作准线l的垂线，垂足分别为,连结发现这四条恰好相交于同一个点K，如图5于是我们得到：过F任作一条弦AB（若是双曲线则为单支弦），分别过AB作准线l的垂线，垂足为　　则直线与直线都经过QF的中点K,即及三点共线.　　证明如下：如图4（以椭圆为例）连接　　　　这正好解决了以下二道高考模拟试题：　　湖北省2008届高三八校联考试题：　　经过椭圆的右焦点任意作弦AB，过A作椭圆右准线的垂线，垂足为M,

6、则直线BM必经过点＿＿＿＿＿＿　　A(2,0)B(,0)C(3,0)D(,0)　　2010年湖北省高三水平测试试题：　　如图，双曲线C：的离心率为，右焦点为F，过点G(1,0)且斜率为1的直线与双曲线C交于A、B两点，且.　　①求双曲线C的方程；　　②过双曲线C的右焦点F,引直线交双曲线右支于P、Q两点,设P、Q两点在双曲线右准线上的射影分别为点C、D，右准线与x轴交于点E，线段EF中点为M,求证P、M、D三点共线.　　于是得到更一般的规律：　　结论6：若AM、BM是圆锥曲线过点F且关于长轴（椭圆）对称的两条动弦(或实轴（双曲线）或对称轴

7、（抛物线）)，如图5，则四线共点于K..