一道三角函数高考题的妙解及其解法研究与应用

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1、一道三角函数高考题的妙解及其解法研究与应用广东省台山市鹏权中学（529200）周海强三角函数历来就是高考的主阵地Z—，不管是全国卷还是口主命题卷，三角函数都是其中的一名主角•因此三角函数题的解法值得研究.笔者看到许多资料对三角函数的性质的一类题目的解答篇幅都很“长”，于是拿來与大家讨论讨论.一・原题呈现（2015年•新课标1卷文科第8题）函数/（x）=cos（^x+^）的部分图像如图所示,则/（兀）的单调递减区间为（）(A)(k7i——,比兀+二),kgZ4413(B)(IkTT一一,2k7r+-keZ4413(C)(k——、k+—)，£eZ4413(D)(2k——,2k+

2、-keZ44二•解法研究5I常规解法…叫由题图知,函数心的最小正周期7Tr）x2=2,所以0",又（和）可以看作是余弦函数与平衡位置的第-个交点，所以cos(—+0)=0,—+(P=兰解得/=兰，所以fix)=cosIjlx+—),所以由442442址兀<7ix+—<2址兀七兀、kg解得2斤

3、---)x2=2,x=-(-+-)=二是/V)的一个授小值点，所以/V)的一个4424441313单调减区间是(—一，二),从而函数rd)的单调递减区间为(2k——+—),kgZ,选D.444451妙解二由题图知，函数f(x)的最小正周期T=(---)x2=2,于是可以排除44ABC三个选项,D选项正确.回避了求C和(p以及解不等式的麻烦.前两种解法都用到五点作图法求和(p得到解析式，然后再解不等式.后两种解法,不用求3，也不用求(P，更不用解不等式•如此简洁、巧妙•它有理论依据吗,是巧合吗？只适合选择题，如果是填空题或者解答题还适用吗？后两种解法都是有理论依据的，不是巧合,

4、适合所有题型•其理论依据是人教A版《数学•必修4》笫37页到38页对止弦函数的单调性的研究过程.它赤裸裸的告诉大家：“周期函数的所有单调区间与一个周期内的单调区间的关系是:在一个周期内的单调增(减)区间［日,方］的两个端点同时加上周期的整数倍得到的区间B+£7,方+kf,keZ就是该函数的所有单调增(减)区间另外不难发现，周期函数的每个单调增(减)区间的长度都是周期的一半.因此有这样的结论:对于一个周期为T的连续函数/(%),若x=日是O)的一个最小(人)值点，则［日-日］是它的一个单调减(增)区间；［日，日+£］是它的一个单调增(减)区间•这也是求函数/(兀)=4sin(

5、e兀+0)和/(x)=Acos(or+0)的单调区间的一・种方法.妙解一利用图像看出周期和一个最小值点•巧妙的利用最值点与单调区间，以及单调区间的长度与周期的关系得到一个单调区间，进而得到所有单调区间.回避了求Q和0以及解不等式的麻烦，不但提高了解题速度,1心几提高了正确率.妙解二直接利用周期与所有单调区间的关系，排除其它三个选项，更为巧妙.三•解法应用例题1(原题改编)函数于⑴=COS(QX+0)的部分图像如原题插图所示•(1)求两数f(x)的周期和单调递区间；(2)求两数f(x)在区间［0,2］上的值域.51解：(1)由题图知，函数f(x)的最小正周期7=(-)x2=2,

6、并且441R1QIQQ^7x——(—I—)=—是/'(X)的一个最小值点，所以［—，—］和［―,—］分别是函数14444444f(x)的一个单调减区间和单调增区间，从而函数fd)的单调减区间和单调增区间分1337别是［2P——,2k+-］,keZ和［2P+—公+—从wZ.44442737(2)由(1)［--］是函数代刃的一个单调增区间，且［--］cz［O,2］,所以函数/V)3444在区间［0,2］上的值域为例题2(2014*福建卷)已知函数/(兀)=2cosx(sinxcosx).(1)求尸(一)的值;4(2)求函数fd)的最小止周期及单调递增区间.解：⑴略.(2)因为/(

7、x)=2cosx(sin%+cosx),/(%)=sin2x+cos2x+1,f(x)=V?sin(2x+彳)+1所以血=2,故函数/V)的最小正周期为t=¥=h.由2x+-=-得到函数产匕)的一个最人值点x=兰，所以f(Q的一个单调递增区间4283777T3”7T为［———,一］,所以代幻的单调递增区间为［炽——北龙+―］,RwZ・8888JT练习(2014-四川卷)已知函数/S)=sin(3jr+才).(1)求/(兀)的单调递增区间；(2)略.对于许多文科生来讲，运算虽大等于失分，而文中提出的解法，