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《从一道高考题解法谈研究问题的视角价值》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、从一道高考题解法谈看问题视角的价值浙江景宁中学张魏岳【摘要】：本文通过对系列数学问题的分析，阐述研宂数学问题时视角和观点的重要作用及其价值体现。【关键词L数学问题研究视角观点价值问题1.已知t为常数，函数y=
2、x2-2x-f
3、在区间［0,3］上的最大值为2,则本题为浙江08年高考卷第15小题，主要考查二次函数在给定闭区间上的取值范围和绝对值的几何意义，参考答案给出的解法简单明了。解析：设m=x2-2x,函数m在区间［0,3］上的取值范围是［-1,3］,由y=x2-2x-r
4、=pn-z
5、,(me［-1,3］)的最
6、大值为2，则冇,=1.但很多学生，包括部分数学教师，一看到题目，立即对本题展开讨论分析，进而去求满足条件的t的值，花了较多的时间和精力；没能从问题的本质处着手分析，完全陷入了问题表征生成的误区。解题策略出现如此大的偏差的主要原因，就是看问题视角不同，对问题的木质认识的程度不一样。不识庐山真而目，只缘身在此山中。看风景如此，看数学问题亦如此。在平常的数学教学和解题屮，我们常会习惯性的见题拆题，见招拆招，问题也许能解决，不过奋时往往就此陷入了数学问题生成的误区，并未能真正的领略数学问题的精彩之所在。俗话说，横看成岭
7、侧成峰，远近高低各不同，从不同的视角研究问题，能获得不同的解法；站得高冰能看得远，用高观点高视角去看数学问题，更能看清数学问题真而目，识别数学问题真本质。数学大师菲利克斯.克莱因早就倡导“高观点K的初等数学意识”，他认为一个基础数学的教师应该站在更高的视角(高等数学)来审视、理解初等数学问题，只有观点高了，事物才能显得简单而明了，在讲解很多初等数学问题时，才能心中有数，当学生提出疑问时，方能正确回答，应付自如，冰能引导学生绕过悬崖，度过险滩。下而试从平常的教学点滴中举几个例子，以窥一隅。问题2.甲、乙、丙三种货
8、物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元;若购甲10件，乙10件，丙1件，共需4.20元；问：购甲、乙、丙各一件共需几元？本题是一道初中数学竞赛题，我曾在竞赛辅导中将其选为例题，主要功能是培养学生解题时的整体思考意识以及降维转化意识。解析：设甲、乙、丙每一件各需x，y，z元，问题要求出x+y+z的值；根据题意,脊：f3%+7^+z=3.15l4x+10)’+z=4.20三个未知数，只有两个方程，一般情况下想解出x，y，z是不可能的；但并不意味着不能就求不出x+y+z;常规求法有如K三种：方法一：把x+y+
9、z当作一个整体，则原方程组可化为：r2,+6y+(x+.v+z)=3.15则容易解出x+y+z=k05;3x+9)，+(x+)’+z)二4.20方法二：把x或y或z其中任何一个看作常数，解关于另两个未知量的方程，如方程组可化为：px+z=3-15-7解得卜.05'4义+z=4.20-10)，z=2y则有x+y+z=1.05-3y+y+2y=1.05方法三：基于方法一的基础上，也可令x，y，z中的任意一个为特殊值，如令y=0,解出x=1.05,z=0,则也能求出x+y+z=1.05;上三种解法从解题目的这个角度
10、看，都算是不错的，能根据题设的特征进行见题拆题，见招拆招。木问题若从更高的视角去看，是一个三维线性方程组的特例，可以用向量空间和矩阵的理论进行更一般性的分析，进而生成更一般性的新问题。考虑方程组的增广矩阵:3713.1541014.20对矩阵进行初等行变换:r3713.15,41014.20?3-1.052-丄0231求出方程组的解空间:(x，y，z)=*.(--，-，l)+(1.05,0,0)31则有x+y+z=-“+-々+々+1.05+0+0=1.0522从上述结论中，我们可以生成更一般的问题：购甲a件，乙
11、b件，丙c件,a，b，c满足什么条件，总花费是可求的？31设总花费为m元，则m=ax+by+cz=(-—a+—/?+c)^+1.05a,只要满足-t+l/7+c=0,a，b，c是非负整数，总花费就可求。22问题3.求解两圆交点的思考高中新教材人教A版数学必修2第140页例题：例己知I员IC,:x2+y2+2x+8y-8=0，
12、员IC2:x2+y2-4x-4y-2=0,试判断W圆的位罝关系。教材分析中的解法一的思路是：联立两方程，两式相减得一一次方程，再重新联立新得得方程和原任一方程求解，根据求解的情况判断两圆的
13、位置关系。本解法思路明了，操作简单，但问题在于教师是如何来看待这种思路，如何引导学生去思考？如果仅仅从方程降次这个层次去分析，应该说是有缺陷的，新的知识生成和思维生成就还是未能实现；视角一：不妨先假设两圆有两个交点；两圆的方程相减可得一个一次方程x+2y-l=0,显然两交点的华标满足这个一次方程，因此这个一次方程就是两圆公将解方程组x~+y2+2x+8y—8=0x2+y2-4A：-4y
