从一道高考题谈导数与数列型不等式的解法

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1、2014年第12期福建中学数学47hx()在(0，)上单调递增，2gx()(x1)sin10x在(0，)上恒成hx()在(0，)上有且只有一个零点．π2ππ立，∴函数g()x的图象恒在直线yx1的下方．又h()0，hx()在(0，)单调递减，π22111112由此可知，函数fx()与g()x的分切线为直线2在M单调递增，01010122yx1，∴当a时，函数fx()与g()x存在分πππ2hx()h()0，fx()(x1)0，22π切线，

2、为直线yx1．π2即fx()x1在(0，)上恒成立．π2∴函数fx()的图象恒在直线yx1上方．π从一道高考题谈导数与数列型不等式的解法第五河清陕西省咸阳市旬邑县旬邑中学（711300）导数与数列型不等式的交汇问题，体现了导数111上述不等式等价于ln(n1)．的工具性，凸显了知识之间的纵横联系，一些题构23n思精巧、新颖，加强对能力的考察，逐渐成为高考x在（II）中取a1，可得ln(1x)，x0，1x的新亮点．本文就2014年高考陕西理数第21题谈1n11起，总结解决此类问题的一般思路和方法．令x，

3、nN，则ln，nnn1例1（2014年高考陕西卷·理21）设函数11fx()ln(1)x，g()xxfx()，x0，其中fx()是故有ln2ln1，ln3ln2，...，23fx()的导函数．1ln(nn1)ln，（I）令g()xgx()，g()xggx(())，nN，n11nn1求g()x的表达式；111n上述各式相加可得ln(n1)．23n（II）若fxagx()()恒成立，求实数a的取值范从上面的解答方法可以看出，解决问题的方法围；为由函数得到到函数不等式，进而对x取值，再得到（II

4、I）设nN，比较g(1)gg(2)()n与数列不等式，达到解决问题的目的．在此过程中有nfn()的大小，并加以证明．两个关键步骤：其一是如何得到函数不等式；其二x解析（I）gxn()．是如何由函数不等式到数列不等式，如何实现函数1nx不等式的过渡？一般有以下几种方法．（II）实数a的取值范围为，1．1利用已有不等式恒成立实现（III）本题解法较多，这里只谈一种．lnx由题设可知g(1)gg(2)()n例2已知函数fxkx()，gx()，x12n111...n()lnx（1）求函数gx()的

5、单调区间；23nn123xnfnnn()ln(1)，（2）若不等式fxgx()()在区间0，恒成比较结果为g(1)gg(2)()nnf()n，证明立，求实数k的取值范围；如下：48福建中学数学2014年第12期ln2ln3lnn1解析（1）实数t的取值范围为1，．（3）求证：．44423n2e（2）由（1）知，令t1，则fxx()1lnx在lnx解析（1）函数gx()的单调增区间为1，上为增函数，fxf()(1)0，即x1lnx，x当且仅当x1时取等号．所以当k

6、2，kN时，0e，，单调减区间为e，．11lnxlnxkk1ln0，即．（2）x0，kx，k2．lnkk1xxklnx12lnx同时，在x1lnx中，令x，k2，令hx()，则hx'，k123xx1k令hx'()0，解得xe，kN，可得lnlnkkln(1)，kk11则hx()在0e，单调递增，在e，单调递1于是有lnkkln(1)．11lnk减，故hx()h(e)，则k．2e2e1令kn23，，，，得ln2ln1，lnx1lnx11ln2（3）由

7、（2）知，(2x)，24211x2exx2eln3ln2，...，lnnnln(1)，ln2ln3lnn1111ln3lnn()，2344nn42e23222将上述n1个不等式相加得：111111111又...lnn，得证．2322n21223(1)nnln2ln3lnn11111评注此题对实数t赋值1，借助fx()的最小值(1)()()223nn1f(1)0，建立不等式x1lnx，再对x赋值，得到11111，所证不等式左边形式，即．此时与右边

8、形nlnkk1ln2ln3lnn式有差异，如何实现右边的形式呢？44423n1利用的传递性，在x1lnx中