关于用导数处理的数列型不等式集锦

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时间:2019-08-07

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1、1.求证:.解析:先构造函数有,从而所以2.求证:解析:3.已知.求证:.4.求证:解析:一方面:(法二)另一方面:5.求证:(1)解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案函数构造形式:,5.求证:解析:提示:函数构造形式:当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数,首先:,从而,取有,,所以有,,…,,,相加后可以得到:另一方面,从而有取有,,所以有,所以综上有6.求证:和.解析:构造函数后即可证明7.求证:解析:,叠加之后就可以得到答案函数构造形式:(加强命题)8.证明:解析:构造函数,求导,可以得到:,令有,令有,所以,所以,

2、令有,所以,所以9.数列的各项均为正数,为其前项和,对于任意,总有成等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设数列的前项和为,且,求证:对任意实数(是常数,=2.71828)和任意正整数,总有2;(Ⅲ)正数数列中,.求数列中的最大项.(Ⅰ)解:由已知:对于,总有①成立∴(n≥2)②①--②得∴∵均为正数,∴(n≥2)∴数列是公差为1的等差数列又n=1时,,解得=1∴.()(Ⅱ)证明:∵对任意实数和任意正整数n,总有≤.∴(Ⅲ)解:由已知,易得 猜想n≥2时,是递减数列.令∵当∴在内为单调递减函数.由.∴n≥2时,是递减数列.即是递减数列.又,∴数

3、列中的最大项为.10.已知证明.解析:,然后两边取自然对数,可以得到然后运用和裂项可以得到答案)放缩思路:。于是,即注:题目所给条件()为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;当然,本题还可用结论来放缩:,即11.已知函数若解析:设函数∴函数)上单调递增,在上单调递减.∴的最小值为,即总有而即令则12.已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立.(I)求证:函数上是增函数;(II)当;(III)已知不等式时恒成立,求证:解析:(I),所以函数上是增函数(II)因为上是增函数,所以两式相加后可以得到(3)……相加后可以得到:所以令,有所

4、以(方法二)所以又,所以13.定义如果内存在二阶导数则(1)若对则函数在内为凸函数.(2)若对则函数在内为凹函数.若函数内是凸(或凹)函数时,对及,有Jensen(琴森)不等式等号当且仅当时成立.证明下列不等式.分析上式只要能证明,如果此题用前面所述的几种方法来证明显然不合适,因为对它求导后不等式会更复杂.而这里的可以看作是同一函数的多个不同函数值,设那么就可以用Jensen不等式来证明它.然后只要令,同理可得.证明令因为,所以是凹函数则对有即又因为所以令,则同理可得所以14.(浙江省五校2009届高三第一次联考理科第21题)已知函数,数列满足:

5、.(1)求证:;(2)求数列的通项公式;(3)求证不等式:.分析:(1)构造函数、利用函数的单调性证明;(2)根据函数关系把数列的递推关系找出来,利用变换的方法将递推关系转化为等差数列或等比数列的关系解决;(3)根据(1)(2)的结果分析探究.解析:(1),,当时,,即是单调递增函数;当时,,即是单调递减函数.所以,即是极大值点,也是最大值点,当时取到等号.(2)由得,,,,即数列是等差数列,首项为,公差为,∴.(3)又∵时,有,令,则∴∴.15.(1)证明:(2)数列中.,且;①证明:②解析:(1)设,则.所以在内是减函数,.又在处连续,所以.

6、即(2)①用数学归纳法证之.a.当时,;b.假设时,;当时,,结论成立.综上,对一切,有.②由①及已知得,所以.所以,又由(1)得,所以,,…….相加,得,故不等式成立.点评:本题是一道改编题,属于理科数学的预测题.递推数列与不等式证明的结合,是历年高考命题的常见策略.16.已知用数学归纳法证明;对对都成立,证明(无理数)(05年辽宁卷第22题)解析结合第问结论及所给题设条件()的结构特征,可得放缩思路:。于是,即注:题目所给条件()为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;当然,本题还可用结论来放缩:,即17.已知数列满足,且。(I)

7、求数列{an}的通项公式;(II)证明:对于一切正整数n,不等式恒成立。解:(I)显然,由可得,即,也即,所以是首项为,公比为的等比数列,从而有,即。①证明:(II)由①得,所以有,为证,只需证。②∵,,猜想有。③下面用数学归纳法证明:当n=1时,③式显然成立;假设当时,③式成立,即。那么当时,,上式表明当时,③式也成立。由、可知对一切,③式都成立。利用③式得,故②式成立,从而结论成立。18.已知函数,数列满足,;数列满足,.求证:(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)若则当n≥2时,.解:(Ⅰ)先用数学归纳法证明,.(1)当n=1时,由已知得结论成立;(2)假设当

8、n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,因为0

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