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《关于用导数处理的数列型不等式集锦》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.求证：.解析:先构造函数有,从而所以2.求证:解析:3.已知.求证：.4.求证:解析:一方面:(法二)另一方面:5.求证:(1)解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案函数构造形式:,5.求证:解析:提示:函数构造形式:当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数,首先:,从而,取有,,所以有,,…,,,相加后可以得到:另一方面,从而有取有,,所以有,所以综上有6.求证:和.解析:构造函数后即可证明7.求证:解析:,叠加之后就可以得到答案函数构造形式:(加强命题)8.证明:解析:构造函数,求导,可以得到:,令有,令有,所以,所以,
2、令有,所以,所以9.数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设数列的前项和为，且，求证:对任意实数（是常数，＝2.71828）和任意正整数，总有2；(Ⅲ)正数数列中，.求数列中的最大项.（Ⅰ）解：由已知：对于，总有①成立∴（n≥2）②①--②得∴∵均为正数，∴（n≥2）∴数列是公差为1的等差数列又n=1时，，解得=1∴.()（Ⅱ）证明：∵对任意实数和任意正整数n，总有≤.∴(Ⅲ)解：由已知，易得 猜想n≥2时，是递减数列.令∵当∴在内为单调递减函数.由.∴n≥2时,是递减数列.即是递减数列.又,∴数
3、列中的最大项为.10.已知证明.解析:,然后两边取自然对数,可以得到然后运用和裂项可以得到答案)放缩思路：。于是，即注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩：，即11．已知函数若解析:设函数∴函数）上单调递增，在上单调递减.∴的最小值为，即总有而即令则12．已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立.(I)求证：函数上是增函数；(II)当；(III)已知不等式时恒成立，求证：解析:(I),所以函数上是增函数(II)因为上是增函数,所以两式相加后可以得到(3)……相加后可以得到:所以令,有所
4、以(方法二)所以又,所以13．定义如果内存在二阶导数则(1)若对则函数在内为凸函数.(2)若对则函数在内为凹函数.若函数内是凸(或凹)函数时,对及,有Jensen(琴森)不等式等号当且仅当时成立.证明下列不等式.分析上式只要能证明,如果此题用前面所述的几种方法来证明显然不合适,因为对它求导后不等式会更复杂.而这里的可以看作是同一函数的多个不同函数值,设那么就可以用Jensen不等式来证明它.然后只要令,同理可得.证明令因为,所以是凹函数则对有即又因为所以令,则同理可得所以14.（浙江省五校2009届高三第一次联考理科第21题）已知函数，数列满足：
5、．（1）求证：；（2）求数列的通项公式；（3）求证不等式：．分析：（1）构造函数、利用函数的单调性证明；（2）根据函数关系把数列的递推关系找出来，利用变换的方法将递推关系转化为等差数列或等比数列的关系解决；（3）根据（1）（2）的结果分析探究．解析：（1），，当时，，即是单调递增函数；当时，，即是单调递减函数．所以，即是极大值点，也是最大值点，当时取到等号．（2）由得，，，，即数列是等差数列，首项为，公差为，∴．（3）又∵时，有，令，则∴∴．15．(1)证明:(2)数列中.,且;①证明:②解析:(1)设,则.所以在内是减函数,.又在处连续,所以.
6、即(2)①用数学归纳法证之.a.当时,;b.假设时,;当时,,结论成立.综上,对一切,有.②由①及已知得,所以.所以,又由(1)得,所以,,…….相加,得,故不等式成立.点评:本题是一道改编题,属于理科数学的预测题.递推数列与不等式证明的结合,是历年高考命题的常见策略.16.已知用数学归纳法证明；对对都成立，证明（无理数）（05年辽宁卷第22题）解析结合第问结论及所给题设条件（）的结构特征，可得放缩思路：。于是，即注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩：，即17．已知数列满足，且。（I）
7、求数列{an}的通项公式；（II）证明：对于一切正整数n，不等式恒成立。解：（I）显然，由可得，即，也即，所以是首项为，公比为的等比数列，从而有，即。①证明：（II）由①得，所以有，为证，只需证。②∵，，猜想有。③下面用数学归纳法证明：当n=1时，③式显然成立；假设当时，③式成立，即。那么当时，，上式表明当时，③式也成立。由、可知对一切，③式都成立。利用③式得，故②式成立，从而结论成立。18.已知函数,数列满足,;数列满足,.求证:（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）若则当n≥2时,.解:(Ⅰ)先用数学归纳法证明,.（1）当n=1时,由已知得结论成立;（2）假设当
8、n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,因为0
