例谈用函数思想指导数列不等式证明

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1、例谈用函数思想指导数列不等式证明摘要：数列不等式的证明是中学数学教学的难点，在高考中常为压轴题.用函数思想指导数列不等式证明的分析，是解决此类问题的一种通法，若善于观察捕捉问题中变量之间的相互依赖关系，构造恰当的函数，则问题便可用函数的图象、性质等，通过研究其单调性、最值等加以解决.关键词：数列；不等式；函数思想数列不等式的证明问题近年来一直是高考的热点，这类问题往往能够融合数列、不等式、函数、解几等多个模块的知识，问题的解决更是要涉及多种数学能力，因而多被用于高考压轴题.对于难度较大的数列不等式的证明问题大多要用到放缩

2、法，但怎样转化才能有利于放缩、如何把握放缩的度对于高中学生来说则是十分困难的，面对问题学生普遍感觉找不到的切入点.由于数列是一种特殊的函数，因而可以应用函数的思想方法来分析证明数列不等式，通过构造函数将问题转化为研究函数的单调性问题，或求函数的最值问题.本文试以2011年高考广东卷理数第20题为例，用函数思想指导问题分析，突破分析的瓶颈，寻找问题解决的有效途径，为这类问题的解决开创一个新视点.题目：设b>0,数列｛an｝满足al=b,an=(n$2).(1)求数列｛an｝的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,anW+

3、1.(2011年高考广东卷理数第20题)第(1)问的解决较为容易，其答案为a=,下面用函数意识对第(2)问进行分析.[?]构造函数利用其导数探究证明设法构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，将不等式的证明问题转化为函数值大小比较问题.本题中含有两个字母，不等式的成立性与两个都有关，可选取一个作为变量，另一作为参数.下面选择正整数n作为变量进行探究，为了求导的需要，用x表示n,并让x21.因此当p>l时，对一切正整数n,f(n)=p2n+l+(1-p)(l+2n)pn-l>0,变形得W(pn+1+1),故有当p>l时，

4、不等式(？)成立.当00且bH2时，nWN*,即证an二W+1,令b=2p,则p>0且pHl,等价于证明-2n20.(??)令f(n)=~2n(n^N*),则f(n+1)-f(n)=~2(n+1)—2n二-2>2-2二0・所以f(n)是关于n的递增函数，又f(1)=-2=-2>0.对一切n^N*,都有f(n)>0,所以不等式(？？)成立.评析：数列具有双重身份，既可以看做函数，同时具有自身的特殊研究规律，对数列不等式的观察基于它是一类特殊的离散函数的视角去看，则又是一番景象.上面的证明中利用相邻两个函数值的差这一研究单调

5、性的基本方法，使天堑变通途.[?]利用函数的最值巧妙证明前述证明其实就是构建函数后采用作差比较法探究函数的单调性，与此法相应的还有构造恰当的函数探究其最值来实现证明.也就是将其一端化为常数，利用另一端的表达式构造函数，问题当然就转化为求函数的最值问题.证明：由1知，问题的关键即证W(pn+l+l)(p〉O,pHl)(?)亦即证W1,令f(n)二(p〉0,pHl).因为f(n)=(p>0,pHl),所以二二1+=1-