例说数列不等式的证明.pdf

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1、2014年第4期中学数学教学45例说数列不等式的证明安徽省潜山二中章权政(邮编：246300)数列型不等式的证明，其思维跨度大，构造(1)求数列{a)为单调递增数列的充要性强，对学生的数学思维素质要求高，能很好的条件；考查学生的学习潜能，具有很好的选拔功能，因(2)当p一时，令6一r，数列而在近几年全国各地的高考试卷或模拟试卷纷纷出现．把这些试题放在一起比较，笔者发现其{b}的前n项和为S证明还是有章可循的，在高中阶段主要是四种途求证11一

2、利用放缩法证明，其中又有几种分法：若差值小于0，则为递减数列．1．1放缩成等比数列来求和(2)通过放缩，把数列{a)构造成一个等比当可以直接利用等比数列求和时，求和后放数列，求和，再放缩．缩，否则，先将通项放缩．从某一项开始放缩后，解(1)若数列{a)单调递增，则a一a和式转化为等比数列的和，求和后再放缩．在证>。，I+P明过程中从通项公式人手，观察分析，放大或缩a>。．一小，然后每一项都按此规律进行放大或缩小，进而得到要证的式子．又口l一1，故>0，故一1o，}÷a。(∈N+，P∈R，P≠1)(

3、上接第45页)设n>0，取z，>n古，用递推公式Xn+l一(z，n1]上单调递增可得“3一g(口2)口>c1．参考文献本题证明虽然采用了高等数学的思想，但证1赵忠华．立意高妙背景深邃[J]．中学数学教明却不超越高中知识范围，思路很清晰易懂，有茔，趣的是，在裴礼文著《数学分析中的典型问题与(收稿日期：2014—06—08)方法》一书的71

4、页发现了此题的题根：46中学数学教学2014年第4期一2一一一1—2因为n一1，一n+，一一一(2)由(1)知：(1+)_l一(1+)”，所以a>0(n∈N+)，、一l厶¨，1厶，l一+方面：(1+)”一mo+ci+口一n”一『二a”z>／>0u，’即BIJ口>／>n以，’故职数姒一一列{n)为单调递增数列．cl(2)+⋯≥c：+113一__一，综上所述，数列{n)单调递增的充要条件为一钆一1<<1．+另一方面：Crc()一寺

5、n+l一以．．+．一一一一一CI_l()+Ci(<1+1十1+．．斗1一1‘11)，一S一(一)]口"a，l+lJ≮⋯．故÷≤(1+÷)<2(n∈N+)．厶厶“”+1由(1)可知数列{a}单调递增，a一1，所以本题利用了二项式定理，同时也是把式子放缩成等比数列来求和的．+>0，所以S<÷．1．2放缩裂项求和又口+1一a一(口+2a)一(a一l+2n2一1)一有些数列和式不等式，不能直接求和时，可(n一n1)(1+2n，+2a．r，1)>5(n一日一1)．以先把数列的通项公式分裂成两项(或几项)之同理可得：n一日>5(n—n一2)，‘差，求和后再放缩，若通项公式不能分裂成两项．．口

6、+l—n>5”一(n2一n1)一2×5”一(≥(或几项)之差时，可以先放缩，再裂项．当然，每2)，而a2一nl一2×5。．一‘项都要按照这个规律进行适当的放缩，一定要．．a+1一(口l—a)+(n一a一1)+⋯+注意“度”的把握，适时进行调整．(n2一口】)4-口l>2×5”一+2×5一+⋯+2×5。例3求证：对于任意的正整数都有+1—2×+1->1．十】+】十】5⋯+<‘·．一．··一一>，)一一．分析本题应该想到用放缩法来证明，关键a，+l3“’一．丢一>1+1c一一丢在于放缩的“度”的把握，如果把<1一’或<两1一1(1一1_)，是很难达到综上所述：11和小于5一

7、，探究其原因，是在于放缩的度太大了，例2已知：数列{n}满足n一1，S一应当缩小放缩的“度”，且第一项不参与放缩．÷na，S为{n}的前”项和．解’·‘<古一(1)求{n}的通项公式；(2)求证：3≤(1+)<2一．)，2014年第4期中学数学教学47．’．1+刍++．_．+1<1+另一方面：口一√a+2[c一{川÷一1”+c一)]≥√÷忌吾+丢是一÷=>n2+≥(÷忌号+1是一{)+2(1一一)<导．-81~1k+3忌+3+忌)>丢(吉是+“度”的把握是运用放缩法证明不等式成功