证明数列不等式的策略.pdf

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1、2011年第1O期高考数学高分之路《数理天地》高中版证明数列不等式李文东(广东省中山纪念中学528454)证明与数列有关的不等式，是学习的难点，巧妙地构造数列，将问题转化为数列的单调性也是近年高考数学的重点．本文结合高考试题问题，达到了解决问题的目的，这也是不等式常来说明这类问题如何寻找突破口，望能达到抛用的证明方法．砖引玉的作用．要证·⋯题目等比数列{a)的前项和为s，已知对任意的n∈N+，点(，S)均在函数Y一一旦．旦．⋯．．>雨2462n‘，’+r(b>0且b≠1，6，r均为常数)的图象上．3572+1(1)求r的值；即证—4J———L>1

2、(2)当b一2时，记b一2(1og2口+1)．,／n上1(nEN+)，证明：对任意的∈N+，不等式3572+1鱼．⋯．．>干-'4-T令一———，一bb●⋯●～>^，”ll26~／+1成立．(2009年山东卷)因为Cn+l一丽2n+3·解(1)因为对任意的EN十，点(，S)c十Z／"4-均在函数—b+r(b>0且b≠1，b，r均为常数)n+1++2的图象上．所以～一：=一一>±±一】，—---·———————----———————--—-——一／，——．．．．．．—————，．．．．．—————=一1．，(n十l八”十Z)√(n十1)(十2)S一

3、b+r，当：1时，口l—S1一b+r，又一>1，2√2当≥2时，所以C>Cl>1，a一S～S～1一b+r～(6+r)一b一b一(6—1)6～，即·⋯又因为{a)为等比数列，一．旦．三⋯．．>币可解得r一一1，2462n‘。．从而a=(6～1)6一．解法2构造对偶式(2)当b一2时，a一(6—1)6一2，利用不等式旦<(n，6，m>o)，得aa’一mb一2(1og2a+1)一2(1og22+1)一2n，2>／，2+1，’则一，所以·⋯·从而3·5·_吾-⋯··一旦．旦．．⋯．>··等⋯··，2462‘下面就第(2)问的证明提供几种特色证令P一号·丢

4、·丢⋯··，法：Q一4682n+2··⋯··解法1构造数列法，分析通过对所证明的不等式进行变形，由上可知P>Q>0，《数理天地》高巾版高考数学高分之路2Ol11年第10期l>P·Q==+1，所以詈·丢·⋯一垫所以P>雨，—一立^√是一厅‘～即·⋯k=l(+1／>直女_-1解法6构造数列一要2．立4．工6⋯一2n2+1>、／／．”⋯要证明。a。⋯a>(”)，若构造数列解法3放缩法{b}，使其前n项的积T一L，、()，则只需要证因为(2”+1)。=4n。+4n+1>4n。+4n，明a>b．所以2n+1>~／一2√．、／，，设数列}的前n项的积T一、／

5、／”+1，则2n+1、_『T~／”+10”一——’百／’一1√故≥·手··⋯·于是只需要证明z>掣，n、『}l而上式等价于>一．．⋯．．一~／．(2n+1)一4n+4n+1>4十4”，解法4应用基本不等式显然成立，故原不等式得证．因为bl+1·⋯一解法7利用对数化乘积为和．旦．⋯．．>Ⅲ】一两边取一_兰I．一．三．⋯．丝±2462n’一⋯对数得2+46+821"／+2n+22In3+I5十In+⋯n+I●———————⋯‘‘●6利J丰j基本等式>In干_】一1n(n+1)．(*’>、／／丽，>，(*)的证明略，同学们不妨一试．丁6+8，⋯，2—n

6、+2n一+2>练习，1．求证：删·⋯一≤丢×荨×詈×⋯×}<＼／2+12+44+66+82n4-2n+2一T丁——一当且仅当一1时等号成立．24622．已知曲线C：z一2+一0(”一1，2．⋯)，从点P(一1，0)向曲线C引斜率为是(>l'l、、巫．．迎,／6~8⋯一~2n—(2n~—2)2462n0)的切线Z，切点为P(，)．一：干__．(1)求数列{}与{}的通项公式．解法5利用贝努利不等式(2)证明：(1+z)>1+，"(”∈N+，≥2，．75>一1，．72≠0)，<√2sin于是(+)‘>十2·一n(此处”2，一壶’，即H>√