例谈放缩法证明数列型不等式的策略.pdf

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1、第4期高中数学教与学例谈放缩法证明数列型不等式的策略杨瑞强(湖北省黄石市第一中学，435000)nn有关数列型不等式的证明既是高考的重证明易求得an=3－2，点，也是难点．其思维跨度大、构造性强，能较nnn－1n－2因为an=3－2=(3－2)(3+3×好地考查学生思维的严谨性．放缩法是证明2+3n－3×22+…+2n－1)≥3n－1，所以数列型不等式的常用方法，它能迅速化繁为11≤．n－1简，达到事半功倍的效果．下面通过例题的形an3式，介绍此类不等式证明的几种策略．111111于是+++…+≤1++2一、利用基本不等式放缩a1a2a

2、3an33n1例1设Sn=槡1·2+槡2·3+…+1×(1－())133n(n+1)(n+1)2+…+=＜．n－1槡n(n+1)，求证＜S＜．3122n21－3证明设此数列的通项为评注本题利用二项式定理将数列{an}a=槡k(k+1)，k=1，2，…，n．k的通项公式予以适当放缩，致使放缩后能够∵k＜槡k(k+1)＜k+k+1=k+1，利用等比数列的前n项和公式顺利求和，达到22证明的目的．nn1∴∑k＜Sn＜∑(k+)，即三、利用定积分放缩k=1k=12111n(n+1)n(n+1)n例3求证:1+++…+＜2槡n．＜S＜+2n22槡

3、2槡3槡n2y(n+1)＜．2评注利用放缩法证明不等式时应注意把握放缩的“度”．上述不等式右边放缩用的a+bOii+1x是均值不等式槡ab≤，若放成2图1n槡k(k+1)＜k+1则得Sn＜∑(k+1)=1k=1证明设函数f(x)=(x＞0)，易知2(n+1)(n+3)(n+1)槡x＞，就放过“度”了．22道函数f(x)单调递减，如图1所示，每个小曲二、利用二项式定理放缩边梯形的面积大于小矩形的面积，即例2设数列{an}的前n项和为Sn，满足i+1∫f(x)dx＞f(i+1)×1．n+1*i2S=a－2+1，n∈N，且a，a+5，ann+

4、1123i+1i+1成等差数列．证明:对一切正整数n，有其中∫f(x)dx=2槡x=2(槡i+1－槡i)，ii1113++…+＜．aaa212n·25·高中数学教与学2014年1函数f(x)在［1，+∞)上单调递增，因此f(x)f(i+1)×1=，槡i+11≥f(1)=0，即≥1－lnx(x≥1)．1x从而2(槡i+1－槡i)＞，槡i+1分别令x=1，2，3，…，n，相加即得ni=1，2，3，…．111e1+++…+≥ln．23nn!当n≥2时，分别令i=1，2，3，…，n－1．故对于任意正整数n，均有将n－1个不等式相加，可以得到2［

5、(槡2－1)n111e1+++…+≥ln．+(槡3－槡2)+(槡4－槡3)+…+(槡n－23nn!槡n－1)］＞1+1+…+1，即评注对于此类型不等式的证明，我们先槡2槡3槡n可以运用“分项比较法”，将问题等价转化为证明111a＞b(n∈N*)成立，再利用题目给出的函数2((1)＞++…+，nn槡n－槡2槡3槡n(或者重新构造的函数)的单调性加以证明．111从而1+++…+＜2槡n－1．五、利用数学归纳法放缩槡2槡3槡n例5已知函数f(x)=ln(1+x)－ax在当n=1时，原不等式显然成立，所以1x=－处的切线的斜率为1．111*21

6、+++…+＜2槡n(n∈N)．槡2槡3槡n(1)求a的值及f(x)的最大值;评注本题通过构造函数，利用定积分111(2)证明:1+++…+＞ln(1+的几何意义，同时注意到“小曲边梯形的面积23n*大于小矩形的面积”来解决问题．n)(n∈N)．四、利用函数单调性放缩证明(1)易求得a=1，f(x)max=f(0)例4求证:对于任意正整数n，均有1+=0．n111e(2)当n=1时，因为左边=1=lne，右++…+≥ln(e为自然对数的底23nn!边=ln2，所以左边＞右边，不等式成立．数)．假设当n=k时，不等式成立，即证明左边先看成数

7、列{an}的前n项1111+++…+＞ln(1+k)．123k和，则an=;再将右边看成数列{bn}的前nn1111那么1+++…++＞ln(1ne23kk+1项和Sn=ln，则当n≥2时，bn=Sn－Sn－1n!1+k)+，nn－1eeek+1=ln－ln=ln=1－lnn．n!(n－1)!n由(1)，知当n=1时，b1=S1=1，适合上式，因此，x＞ln(1+x)(x＞－1，且x≠0)．*bn=1－lnn(n∈N)．1令x=，则为证原问题，只需证明:当n∈N*时，ak+1n111k+2≥bn成立，即证明≥1－lnn．k+1＞ln(1

8、+)=lnk+1，nk+1111k+2设f(x)=－1+lnx，则f'(x)=－2所以ln(1+k)+＞ln(1+k)+lnxxk+1k+11x－1=ln(k+2)，+=．当x≥1时，f'(x)≥0恒成立，