资源描述：
《探究放缩法证明数列不等式的策略.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、从一道高考题，推广到一类问题的解决思路探究放缩法证明数列不等式的策略广东北江中学叶浩山［摘要］本文通过一道用放缩法证明数列不等式的高考题，探究证明：—I…v常数M,若数列｛一｝是个不可求和的数列，耍将数列｛一｝放缩5a2ananan成可求和的等比数列时的思路，并推广到解决这一类问题的一般思路.［关键词］放缩法等比数列不等式［正文］笔者高三复习数列与不等式知识吋，给学牛出了一-道简单的数列不等式问题，此题是2014年新课标全国卷II的题题H如下：已知数列仏｝满足⑦=1,］=3cin+1.⑴证明仏+寻是等比数列，并求｛如的通
2、项公式；(2)iili明丄+丄+...+—<
3、.v7aa?a”2笔者在上课吋请了一位学牛甲丄台讲解，学牛甲数学功底还算不错，马上在1(n黑板上写下了如下的解法:解：(1)由d“+i=3為+1得為+1+亍=3(如+寸又如+*=
4、,所以為+*是首项为寸，公比为3的等比数列，所以如+*£3"—1因此数列｛“｝的通项公式为知=一^~・12(2)证明：由⑴知石=亍二p因为当此1时,3"—1少3”一1,所以3"-1*2x3"“即石=莎¥萨'于是专+詁…+昙1+扣…+古=10—抄I所以丄+丄+…4-—<
5、.(7)Cl2Cln2笔者在
6、点评学牛甲的解法时，说到整个解题过程屮最精彩部分是第二问屮将］=放缩成洛I.于是就有了+
7、+...+^FT=
8、fl—的精5—13ciazan3J3yz彩证明.班上同学也响起了掌声，为学牛甲的精彩解答鼓掌！正当笔者以为此题12可以结朿时，学牛乙却提出了问题：老师，甲的方法我听懂了，将十=上放S3—1缩成+是很精彩，但是我想不到啊！此言一出，班丄陆陆续续响起了笑声•笔者在堂上也被学牛乙的问题问懵了，只能和学牛乙说，这类题H做的多，你自然就会想得到了.课后，学牛乙提出的问题引起笔者思考这样的问题：放缩法证明数列不等式的问题，
9、学牛不是看不懂解答的过程，都会为解答过程屮精彩的放缩技巧而鼓掌.但是掌声过后，学牛能不能够遇到同类问题可以轻松解决，确实需要引起我们的思考.""于是笔者追根溯源，发现解决这一类问题还是有法可依的！回到2014年新课标全国卷11的题H,此题第二问的难点是将不等式的左边丄+・+..•++变成可求和的等比数列洛T，于是我们可以这样思考：假设仇2如3丄+丄+・・・+丄＜£+*+•••+仇，其中数列｛化｝是首项勺＞0,公比Ovgvl的等aa2an比数歹于是有丄+丄+...+丄V也+人+.・・+仇=丿」（1一/）＜上一，考虑到要证
10、州a2an--q-q明++++•••++¥•于是令但这个方程有两个未知数％和q,因为+=cici2an2_g2an€r，我们可以假设q丄由丄=〉解出勺=1.于是我们通过丄述过程构造J13-q211?1了等比数列仮｝,仇=（自心，我们只要证明-=y—^＜bn即可.上述构造等比数列的过程让放缩法证明数列不等式问题提供了思维过程，笔者发现要证明：丄+丄+・・・+丄V常数M,若数列｛丄｝是个不可求和的数列，要aa2anan将数列｛2｝放缩成可求和的等比数列时，丄述方法具有一般性・我们再看下面的例子：（2012年广东高
11、考理科数学第19题）设数列｛色｝的前〃项和为S”，满足2S”=色+
12、-2曲+1（hgN、,且即色+5,他成等差数列。（1）求q的值；（2）求数列｛%｝的通项公式;(3)证明：对一切正整数〃，有丄+丄+•・・+丄V。4a2an2■由第一，二问可以解得对于第三问同样也是要将数列｛丄｝放缩an成可求和的数列，其屮将数列｛I｝放缩成等比数列是很常规的方法.构造等比数列思路一：假设丄+丄+...+丄…+仇，其屮数列｛仇｝是aa2an首项也>0,公比Ovqvl的等比数列•于是有—+—++人+...+—=-^—(l_q")V-^-,
13、考虑到要证明丄+丄+...+axa2an~-q-q⑷如+弓于是令丄=)，此时取qj,也=1,于是构造了等比数列｛化｝也=占，如也l-q233只要证明：-=—i—2成立，当〃=1时，an3"-2"2
14、2"-=1>^=-,于是有：丄+丄+..・+丄<丄+厲+・..+仇，但是我们在构造等比®4纠a2ana｝数列吋令i=而丄=1>/71=-,于是会出现丄+人+...+仇〉2的情况.此吋,1-q2ax4a｝2我们需将上述构造等比数列的过程作调整，要证：丄+丄+...+丄V?对于21成兔。2an2立，即证：丄+・••+丄v
