关于运用放缩法的数列不等式证明

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1、数列不等式是高考的一个考点，这类问题是把数列知识与不等式的内容整合在-起，形成了证明不等式，求不等式中的参数范围，求数列中的最大项，最小项，比较数列屮的项的大小关系，研究数列的单-调性等不同解题方向的问题，而数列的条件的给出是多种多样的，可以是已知的等差数列，等比数列，也可以是一个递推公式，或者是一个函数解析式。数列不等式的证明和解决，要调动证明不等式的各种手段，如比较法，放缩法，函数法，反证法，均值不等式法，数学归纳法，分析法等等，因此，这类题目从已知条件给出的信息，求解目标需求的信息中，可寻求的解题

2、过程所用的方法是相当丰富的，并且对于考查逻辑推理，演绎证明，运算求解，归纳抽象等理性思维能力以及数学联结能力都是很好的素材。放缩法放缩法是要证明数列不等式的一种常见方法，如当证明A

3、用数列不等式证明中的裂项形式：1111I’ll、（1）（==—（）・n（n+l）nn+1n（n+k）knk+1'⑶厂+「11111-v<—伙+l)kk(k—V)kk-k«(/?+1)(71+2)11_lz11、6S“=+1)(%+2),/?wN"(1)求｛心｝的通项公式；(2)设数列｛仇｝满足色(2饥-1)=1,并记7；为｛仇｝的前n项和，求证:37；+1>log2(an+3),7?gN"(I)解：由⑷=S]=丄(山+1)⑷+2),解得Qi=l或di=2,由假设ai=Si>l,因又曲為+i=S”+lS

4、pi=—(/,丄1+1)(心丄1+2)=—(an+1)(。斤+2),因為>0,故an+i=-an不成立，舍去。因此如「窃3=0。从而｛an｝是公差为3,首项为2的等差数列,故｛為｝的通项(II)证法一：由心(2方-1)=1可解得1+-从而几=/?]+九+…+bn=log因此37；+l_logg+3)=log2-3/?—1丿3n+23m-1丿3n+2f(n+1)3〃+2/(«)3n+5"3n+3、<3n+2丿(3/z+3)(3n+5)(3料+2)因⑶2+3)2—⑶7+5)(3h+2)2=9z?+7X)，故

5、77特别的/(m)>/⑴=帀>1。从而37；+1-log©+3)=logf(n)X),即37；+l>log2(d”+3)。证法二：同证法一求得九及几。由二项式定理知当c>0时，不等式(l+c)‘>l+3c成立。由此不等式冇/i3(3r,l+l=log221+-z丿>log22(1+

6、■丫1+丄…1+5丿•-k2A—los92・一•—*_24,丄13〃-1丿学M=log2(3n+2)=log.(an+3)。3n-1证法三：同证法一求得仇及几。令An=l

7、…字，1253n46因3n〉3n+1〉3n+

8、23n一13n3n+13n+1厂，_583〃+2，C/23办473/?+1,因此严驾空。、3从而3Tn+l=log22一-(263n»■■X‘I,353斤一1丿=10g22盅>log22AnB.Cn=log2(3/i+2)=log2(碍+3)在数列｛a“｝中，q=2,an+i=4an-3n+1,ngN*.(I)证明数列｛an-n｝是等比数列;(II)求数列｛%｝的前n项和Sn:(III)证明不等式S”]W4S”,对任意〃wN’皆成立.(I)证外山题设色+严4山一3斤+1,得Q“+I一⑺+1)=4(%-力

9、,H€N*.又4-1=1,所以数列｛an-n｝是首项为1,且公比为4的等比数列.(II)解：由(I)可知an-n=4n-于是数列匕｝的通项公式为an=4H_I+n・所以数列｛%｝的前«项和S”=羊”+巴异・(II)证明：对任意的mgN*,—1

10、（〃+1）5+2）4S”+】—4S”-，‘4"-1讪+1)、、丁+2丿=—*(3/?+〃一4)W0.所以不等式S曲W4S“，对任意“wN*皆成立.已知函数f(x)=x2-4,设曲线y=f(Q在点g,f(无))处的切线与x轴的交点为(心+显)s,n+)，其中为正实

11、数.(I)用无表示xn+；(II)若di=4,记為屯心,证明数列3】｝成等比数列，并求数列｛xn｝的通心-2项公式；(III)若力］=4,bn—xn—2,几是数列｛bn｝的刖〃项和，证明Tn<3.解析：木题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力.(I)由题可得fx)=2x・所以曲线y=f(x)在点(£,/(£))处的切线方程是:y-f(xn)=fxn)(x-xn).即y-(兀；-4)=2xn(x