关于运用放缩法的数列不等式证明（精）

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1、数列不等式是高考的一个考点，这类问题是把数列知识与不等式的内容整合在-起，形成了证明不等式，求不等式中的参数范围，求数列中的最大项，最小项，比较数列屮的项的大小关系，研究数列的单-调性等不同解题方向的问题，而数列的条件的给出是多种多样的，可以是已知的等差数列，等比数列，也可以是一个递推公式，或者是一个函数解析式。数列不等式的证明和解决，要调动证明不等式的各种手段，如比较法，放缩法，函数法，反证法，均值不等式法，数学归纳法，分析法等等，因此，这类题目从已知条件给出的信息，求解目标需求的信息中，可寻求的解题过程所用的方法是相当丰富的，并且对

2、于考查逻辑推理，演绎证明，运算求解，归纳抽象等理性思维能力以及数学联结能力都是很好的素材。放缩法放缩法是要证明数列不等式的一种常见方法，如当证明A

3、n（n+l）n〃+1n（n+k）knk+1'11_lz11、⑶厂+「11111-v<—伙+l)kk2(k—V)kk-k⑷«(/?+1)(71+2)£_J12n(n+l)(h+1)(“+2)n11(〃+l)!n(zi+1)!(6)2a/n+1—=—j=/<—r=<—r=/=2(—yjn—)—-r=>)Jn+Vw+1Jn+-1n{n+l)⑺2”=U+C；+C：+C：+…+CT+C；：AV+©+CT+C：=2®+1)〜2"—1A2n+1已知各项均为正数的数列｛碍｝的前n项和满足Sn>l,116S“=+1)(%+2),/?wN"（1）

4、求｛©｝的通项公式;（2）设数列｛仇｝满足％（2®—1）=1,并记7；为｛仇｝的前n项和，求证:37；+1>log2(an+3),ngN'f（I）解：由山=S]=—（山+1）（山+2），解得Q]=l或di=2,由假设di=Si>l,因6又出a“+]=S“+]・S“=2(a“+]+l)(d“+]4-2)=—(an+l)(a“+2),66得・cifl+i-d”-3=0或an+=-cin因為>0,故an+i=-an不成立，舍去。因此a”+i■偽广3=0。从而｛an｝是公差为3,首项为2的等差数列，故｛给｝的通项（II）证法一：由心（2方-1

5、）=1可解得(Ibz=log.1+—Ian从而几=/?]+九+…+bn=log3/7"3/?-1；、3因此37；+l—logg+3)=log3/23/?—1/23n+23n令心（汇7着则f(n+1)3〃+2(3n+3?3/7+5(3n+2丿fWGn+3)3(3,7+5)(3“+2)2因⑶2+3)2—⑶?+5)(3h+2)2=9z?+7X)，故77特别的/(m)>/⑴=帀>1。从而37；+1-log©+3)=logf(n)X),即37；+l>log2(d”+3)。证法二：同证法一求得九及几。由二项式定理知当c>0时，不等式(l+c)‘>l

6、+3c成立。由此不等式冇/i3(3r,l+l=log221+-z丿>log22(1+

7、■丫1+丄…1+5丿•-k2A—los92・一•—*_24,丄13〃-1丿学M=log2(3n+2)=log.(an+3)。3n-1证法三：同证法一求得仇及几。令An=l

8、…字，1253n46因3n〉3n+1〉3n+23n一13n3n+13n+1厂，_583〃+2，C/23办473/?+1,因此严驾空。、3从而3Tn+l=log22一-(263n»■■X‘I,353斤一1丿=10g22盅>log22AnB.Cn=log2(3/i+2)=log2

9、(碍+3)在数列｛a“｝中，q=2,an+i=4an-3n+1,ngN*.(I)证明数列｛an-n｝是等比数列;(II)求数列｛%｝的前〃项和S”；(III)证明不等式S”]W4S”，对任意hgN*皆成立.(I)证外山题设色+严4色一3斤+1,得Q“+i一S+1)=4(%-斤)，heN*.又1=1,所以数列｛an-n｝是首项为1,且公比为4的等比数列.(II)解：由(I)可知an-n=4n-于是数列匕｝的通项公式为an=4H_I+n・所以数列｛%｝的前〃项和S”=三二+巴异・(III)证明：对任意的neN—1

10、（〃+1）5+2）4S

11、”+】—4S”-，‘4"-1讪+1)、、丁+2丿=—*(3/?+〃一4)W0.所以不等式S曲W4S“，对任意“wN*皆成立.已知函数f(x)=x2-4,设曲线y=f(Q在点g,f(无))处的切线与x轴的交点