放缩法证明数列不等式的常见模型及调整策略.pdf

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1、语数外学习No．01．2013YuShuWaiXueXi2013年第1期放缩法证明数列不等式的常见模型及调整策略12李素芳张善乐(1、红安县第一中学，湖北黄冈438400;2、红安县大赵家高中，湖北黄冈438400)摘要:数列不等式的证明常见于各省市每年的高考压轴题中，学生对此类题通常感觉无从下手。下面就教学实际介绍一些常见的放缩模型及调整策略，让学生学会一些思考方向。关键词:放缩法;数列;不等式;模型中图分类号:G633文献标识码:A文章编号:1005－6351(2013)－01－0043－02一、放缩模型在以上四种放缩模型中，根据

2、不等式的结构特点选择合适的(一)等差数列模型模型极其重要。其中等比数列模型和裂项相消模型尤为常见。n(n+1)但有时即使将放缩模型找到，也不能顺利证明不等式，这就需要例题1:证明＜槡1×2+槡2×3+…+槡n(n+1)＜2一些调整策略了。n(n+3)*二、放缩调整策略，(n∈N)。2*1115解析:根据不等式两端的结构特点联想到等差数列的求和公例题5:已知n∈N，求证:2+2+…+2＜12n3式。(一)保留若干项证明:利用n＜槡n(n+1)＜n+1解析1:如果直接按照例题3放缩，证明会失败。这时，需要则1+2+…+n＜槡1×2+槡2×

3、3+…+槡n(n+1)＜2+3保留{1}前五项。+…+(n+1)n2n(n+1)n(n+3)证明:当n=1时，1=1＜5即2＜槡1×2+槡2×3+…+槡n(n+1)＜2123(二)等比数列模型1155当n=2时，2+2=＜*111371243例题2:已知n∈N，求证:+2+…+n＜1114952+12+12+144当n=3时，2+2+2=＜1123363解析:数列{2n+1}无法求和，根据其通项特点，联想到等比11112055当n=4时，2+2+2+2=＜112341443数列{2n}。1111152695当n=5时，2+2+2+2+

4、2=3600＜3113712345证明:当n=1时，=＜2+13441111当n≥6时，2＜=－，11nn(n－1)n－1n当n≥2时，n＜n，则2+1211111115269则++++++…+＜+2222222360011111115123456n++…+＜+++…+=－2+12n323n61111112+12+12221537(5－6)+(6－7)+…+(n－1－n)＜＜n64459891600052=－＜=(三)裂项相消模型3600n36003*111(二)调整放缩度例题3:已知n∈N，求证:2+2+…+2＜2解析2:该题若调整

5、放缩度，上述解答过程将大大简化。12n111111利用不等式＜=－，则只需用保留解析:根据数列{}的形式，联想到能裂项相消求和的数列222(n－1n+1)n2nn－111{}。{n2}的前两项。n(n－1)115证明:当n=1时，2=1＜2证明:当n=1时，2=1＜31111111155当n≥2时，2＜=－，则当n=2时，2+2=4＜3nn(n－1)n－1n1211111111111112+2+2+…+2＜1+(1－2)+(2－3)+…+当n≥3时，n2＜n2－1=12(n－1－n+1)，123n111111151(－)=2－＜2则2

6、+2+2+…+2＜4+2n－1nn123n(四)二项式模型111111115－+－+－…+－=n[(24)(35)(46)(n－1n+1)]3*kn例题4:已知n∈N，k＞1，求证:(k－1)≥1+k－11115－+＜n2(nn+1)3k解析:由(k－1)幂的形式，联想到二项展开式。11nn如果进一步调整放缩度，利用2＜1=2k1n2证明:()=(1+)n－k－1k－142n111=C0+C11+C21+…+Cn1≥C0+C1－，则只需保留第一项。nn(k－1)n(k－1)n(k－1)nn(2n－12n+1){n2}1n15(k－1)

7、=1+k－1证明:当n=1时，12=1＜3(下转第45页)★作者简介:李素芳(1978－)，女，本科，湖北省红安县第一中学，数学一级教师;张善乐(1977－)，男，本科，湖北省红安县大赵家，高中一级教师。43语数外学习No．01．2013YuShuWaiXueXi2013年第1期图象经过的象限k的符号b的符号很多科学自主学习探究活动往往都以结论的得出而告终的，一、二、三而数学日常教学中的自主学习探究教学则并未完结。相反，一次一、三、四自主学习探究的“结局”往往都会变成下一次自主学习探究的“开一、二、四端”或“延续”。这就是说，在进行教

8、学的实施过程中，我们的板书二、三、四与设计不但要教会学生学会对整个学习过程的反思和理解，更重又例如复习二次函数的图像和性质时，也可列表如:要的是要使他们形成一种自主学习的探究精神，并能在学生的课字母符号图像特征后自主学习