例谈放缩法证明不等式的基本策略.docx

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1、例谈放缩法证IT估式的基本策略Lastrevisionon21December2020例谈“放缩法”证明不等式的基本策略江苏省苏州市木渎第二高级中学母建军215101近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提的是，高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点，有极大的迁移性，对它的运用往往能体现出创造性。“放缩法''它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，

2、放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。下面结合一些高考试题，例谈“放缩"的基本策略，期望对读者能有所帮肋。1、添加或舍弃一些正项(或负项)例1、已知"”=2”一l(nwM).求证：巴一丄＜虫+竺+...+2(“eN・).23勺仃证明：..・上上一=_=——=——!X丄_丄.丄,£=1,2,...,“，2*+1-122(2曲一1)23.2“+2“一2232k若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了2"-2,从

3、而是使和式得到化简.2、先放缩再求和(或先求和再放缩)例2、函数/(x)求证:f(1)+f⑵+••■+/'M＞〃+召-扣疋犷).证明:由血)二>12.2"得/(1)+f(2)+-VM>12-2112-2222”丄(”E).2此题不等式左边不易求和，此时根据不等式右边特征，先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和•若分子，分母如果同时存在变量时•要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）例3、已知an=n,求证：文，存

4、v彳•、11Kik"1nifl证明靠吞=厶丽<1+忑血-1）心+1）_亠）7伙+i）<1+"2忑寸伙-1)伙+1)(yjk+1+yjk-1)=1+工^-2金-1)伙+1)='+'*¥G<2+¥<3.本题先采用减小分母的两次放缩.再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.4、放大或缩小“因式”；1八1例4、已知数列｛冷｝满足a”】=q；,Ovq5牙,求证：工（绞-如）％2<葛・证明、:OyM-»«n+I="；,•••a2=«]2-~>a3'石……•当*-咐v代+2-a3-本题通过对因式仏2放大，而得到一个容易求和的式子-如），最终得出证明.5.逐项放大或缩小例5、设aH=71x

5、2+J2x3+J3x4+-••+“(”+1)求证:=n+1)v2/i+12n1对任何正

6、整数加,"都成立.证明：要证J5%-Ja利〉1,只要证5%>1+5~+2城石・因为anm=5〃血-4,=(5m-4)(5八—4)=25nui-20(w+/?)+16t故只要证5(5////?一4)>1+25//J/7-20(??/+〃)+16+2yjamanf即只要证20〃?+25-37>2城石・因为2yjaman

7、VW/nG.⑴证明：朋：<於；,；(2)证明：(1+创>(1+犷证明：(1)对于1n'C'm(1n2C