例谈“放缩”的基本策略

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1、例谈“放缩”的基本策略修水一中宋晓荣高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点，有极大的迁移性，对它的运用往往能体现出创造性，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。“放缩法”它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标，而且耍恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。下面结合一些试题，例谈“放缩'啲基本策略，期望对读者能有所帮助。1、添加或舍弃一些正项（或负项）例1、已矢rid“=2"—l

2、SwM）.求证："—丄＜去+鱼+…+仏5丘矿）.23勺°3£+1证明：・・・5=0t+l-2如_「22(2--1)^23公+2*-2亠2丁八心儿2〃23rn1>2~3,n111i"i(2+F匚丄<鱼+鱼+23勺a35+]2若多项式屮加上一些正的值，多项式的值变大，多项式屮加上一些负的值，多项式的值变小。市于证明不等式的需耍，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了2〃-2,从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩）例2、函数

3、/（X）二总，求证：/（1）4/（2）+・・・4/（〃）＞〃+缶-如胡）.证明:4"_]11+4"一「1+4">1-2・2"得f(1)+f(2)+・・・廿(n)>1——!—2-2*+1+•…+1-2-2212・2"=/?--(1+丄+丄+•••+—!—)=料+——-(neAT*)・4242"一2处2此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征，先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和.若分子，分母如果同时存在变量时，要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需

4、放人，则只要把分子放人或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分了缩小或分母放大即可。3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）证明:VF<1若p（k—v）k伙+i）

5、匕“1'L证明vO1时,0vak+2=n+1）vJ（n+丄），二"

6、十】V22.r~:7T2n+1..n

7、别对待，即不能放的太宽，也不能证明:lllI—~V=—n2n（n-l）n-••二+A+Z+…+i+A+（丄丄…+丄一丄）」+（丄丄I.l22232n22223n-42n4此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。7、利用基本不等式放缩例7、已知〜=5—4,证明：不等式伍爲-质＞1对任何正整数〃"都成立.证明：要证应7-7^石＞1，只要证5%＞1+S+2&皿・因丿$amn=5tnn-4,aman

8、=⑸"一4）（5〃-4）=25tnn-20（加+/?）+16,故只要证5（5〃加一4）〉1+25mn一20（加+料）+16+2yjaman即只要证20加+20川一37＞2&/“・因为2y]aman